陳立公版教材 · v2026.1

數與式

數學高一已定稿108 課綱數學高一上第 1 章數與式

這份公版的組成（由 3 份版本提煉固定模式：15 個主題的觀念框、固定題組與挖空式版式（柯 2025 與 A++ 2026 逐字重合 76.5%／83.6%，交集即骨架））

固定模式 15 段

柯文定

高銘

A++ 教研編輯

整份公版 24 段：灰＝大家共同的固定模式（歸總部），紅＝老師原創（計貢獻）

柯文定 · 「分點位置比大小」加權平均圖像法、四端點候選比較法、待定係數 k,m 重組高銘 · 反證法三步驟 SOP、造絕對值＋處理原則總表、算幾「使用時機」教學、特殊方根獨立主題（v2026.2 併入審核中）A++ 教研編輯 · 水電費、包裝重量學資應用題（成功高中、北一女中）

大考對齊：105 學測：|x|±|x−5|=k 有解判斷（多選）、103 學測：|4x−12|≤2x 解區間長度、√13 根式多選、103 數乙：b=(4/5)a+(1/5)c 數線判斷、101 學測：√(1/5²+1/4²+1)、105 數乙：1≤mn≤8 的有理數 n/m 計數

學習目標

讀完這份教材，學生應該要能做到的事。

✓掌握數系結構（N⊂Z⊂Q⊂R）與有理數/無理數的性質、稠密性
✓會用內外分點公式、絕對值與區間處理數線問題
✓熟練乘法公式、因式分解六型與根式的有理化
✓能以算幾不等式求極值並判斷等號成立條件

一、概念解釋

核心觀念的白話講解，附公式與最常見的陷阱提醒。

1. 數系與稠密性

有理數 p∕q（(p,q)＝1）；a<b ⇒ a < (a＋b)∕2 < b

實數依樹狀分類：實數 → 有理數∕無理數 → 整數∕分數。有理數＝可寫成 p∕q＝有限或循環小數；無理數＝無限不循環小數。

稠密性用「取中點」構造證明：任兩相異有理數之間必有另一個有理數；整數則相反，有分散性 |a−b|≥1。

無理數判準（框線公式）：a＋b√2 ＝ c＋d√2 ⇔ a＝c 且 b＝d（反證法證明）。

重點提醒　反證法三步驟 SOP：先否定結論 → 找到矛盾 → 再扶正結論。把證明拆成可複製的操作流程。（高銘老師原創，v2026.2 併入）

2. 數線與分點公式

內分點 x ＝ (mx₂＋nx₁)∕(m＋n)；外分點 x ＝ (mx₂−nx₁)∕(m−n)

實數與數線上的點一一對應；d(A,B)＝|x₁−x₂|。

同一比例 AP:BP 可能有內分、外分兩解，作圖時以圈號在數線上標比例段。

加權平均 (ma＋nb)∕(m＋n) 就是數線上的內分點位置——比較大小不必計算，看位置即可。

重點提醒　「分點位置比大小」：把 (a＋2b)∕3、(3a＋b)∕4 這類式子全部視為 a、b 之間的分點，化代數比較為圖像判讀。（柯文定老師原創）

3. 絕對值與折線函數

|x−(M＋m)∕2| ≤ (M−m)∕2 ⇔ m ≤ x ≤ M；||a|−|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|＋|b|

絕對值＝距離：|x−a| 是 x 到 a 的距離，多個絕對值相加先用距離觀點判斷 x 的位置。

「中點±半距」公式把區間與絕對值不等式雙向互換（去絕對值∕造絕對值）。

折線函數 y＝Σ|x−xᵢ| 用「折點速畫法」作圖：列轉折點表 → 連折點 → 左右端各補一點；極值由中位數法則決定——絕對值奇數個底部尖尖、偶數個底部平平。

重點提醒　絕對值證明一律採平方法（公版固定口訣）。三角不等式、|(a＋b)∕(1＋ab)|<1 等證明題全部平方處理。

4. 乘法公式與因式分解

a³＋b³＋c³−3abc ＝ (a＋b＋c)(a²＋b²＋c²−ab−bc−ca)

公式庫自平方差到高次 aⁿ±bⁿ 共 8 組，每條公式分「求值型」與「因式分解型」雙列（如 a³＋b³ ＝ (a＋b)³−3ab(a＋b) ＝ (a＋b)(a²−ab＋b²)）。

a＋b＋c＝0 ⇒ a³＋b³＋c³＝3abc，是 (2⁵＋3)³＋(8−2⁵)³−11³ 型速算的鑰匙。

因式分解採分型制：分組提公因式∕十字交乘（含換元）∕拆項補項（x⁴＋4）∕強迫分解（xy 型）∕配合整數解∕雙十字交乘。

重點提醒　「和差積結構」：所有乘法公式都化約為 a＋b、a−b、ab 三元素的關係，訓練多重視角切換。（高銘老師原創，v2026.2 併入）

5. 算幾不等式

(a＋b)∕2 ≥ √(ab)（a,b>0，等號於 a＝b）

觀念採「二變數 → 四變數 → 三變數」順序，暗示「先證 4 再夾出 3」的經典證法。

題型階梯：和定積最大 → 積定和最小（帶係數）→ 倒數條件式 → 平移湊配 → 圍籬最佳化應用。

使用前先辨識時機：「相加、相乘同時出現求極值」或「倒數相加求極值」才想算幾。

重點提醒　等號成立必檢查！f(x)＝x²＋4＋1∕(x²＋4) 的最小值不是 2——等號條件 x²＋4＝1 無解，是最常見陷阱。（高銘老師原創防呆專題，v2026.2 併入）

二、題目演練

由淺入深的例題，每題都標註出自哪位老師的版本。

例 1基礎固定模式（3 份版本皆有）

求 √(95×99×101×105＋144) 之值。

解　令 x＝100，原式＝√((x−5)(x−1)(x＋1)(x＋5)＋144)＝√((x²−25)(x²−1)＋144)＝√(x⁴−26x²＋169)＝√((x²−13)²)＝x²−13＝9987。

例 2基礎固定模式（3 份版本皆有）

化簡 1∕(√2＋1) ＋ 1∕(√3＋√2) ＋ … ＋ 1∕(√100＋√99)。

解　通式 1∕(√(k＋1)＋√k)＝√(k＋1)−√k，裂項相消得 √100−√1＝9。

例 3標準固定模式（3 份版本皆有；高銘版加【常見錯誤】示錯層）

已知 |ax＋1| ≤ b 的解為 −1 ≤ x ≤ 5，求 a、b。

解　−b ≤ ax＋1 ≤ b。需討論 a 的正負：a>0 時解為 (−b−1)∕a ≤ x ≤ (b−1)∕a，與 −1 ≤ x ≤ 5 對照解聯立；a<0 時不等號反向。逐案驗證取得合法的 (a,b)。

例 4標準固定模式（3 份版本皆有）

xy＝6（x,y>0），求 2x＋3y 的最小值。

解　2x＋3y ≥ 2√(2x·3y)＝2√(6xy)＝2√36＝12，等號於 2x＝3y，即 x＝3、y＝2。

例 5綜合固定模式（折線函數型一，柯／A++ 同題）

設 f(x)＝|x−1|＋|x−2|＋|x＋3|，求 f 的最小值。

解　三個（奇數個）絕對值，由中位數法則，x 取中位數 1 時最小：f(1)＝0＋1＋4＝5。

例 6綜合大考真題（柯版綜合題型例10；高銘版型二例11 同題）

【105 學測】關於 |x|＋|x−5|＝k 與 |x|−|x−5|＝k 有無實數解的判斷（多選）。

解　|x|＋|x−5| 值域為 [5,∞)（兩點距離和最小 5）；|x|−|x−5| 值域為 [−5,5]。逐選項以折線圖判讀 k 的範圍即可。

三、進階題

大考等級與素養情境題，解析預設收合，方便學生先自己想。

進階 1固定模式延伸層（跨主題整合：分點公式＋反證法）

證明：任兩相異有理數 a<b 之間必存在無理數。

看解析

構造 x＝(b＋√2a)∕(1＋√2)，此為 a、b 的（無理權重）內分點，故 a<x<b；若 x 為有理數，則 √2＝(b−x)∕(x−a) 為有理數，矛盾。故 x 為無理數。

進階 2高銘老師原創收錄（特殊方根的處理・型四，v2026.2 併入審核中）

【競賽資優】證明 Ramanujan 無窮巢狀根式 √(1＋2√(1＋3√(1＋4√(1＋…)))) ＝ 3。

看解析

由 n(n＋2)＝n√(1＋(n＋1)(n＋3)) 逐層展開：3＝√(1＋2·4)＝√(1＋2√(1＋3·5))＝…，歸納通式即得。

版本歷程

公版教材是活的：每年對照大考與老師的新原創內容改版。

v2025.02025-07-15柯文定 2025 資優班版為骨架底稿（15 主題觀念框＋固定題組）
v2026.02026-01-20A++ 2026 正規版年度演進：乘法公式三型重組、學資應用題 2 題併入
v2026.12026-08-02三版比對定稿：公版規格＋公版教材產出，柯師 3 項原創手法併入
v2026.2審核中高銘 4 項原創（反證法 SOP、造絕對值、算幾使用時機、特殊方根主題）併入審核