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陳立公版教材 · v2026.1
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指數與對數

數學高一已定稿108 課綱 數學 高一上 第 2 章 指數、對數（常用對數）
這份公版的組成（由 3 份版本提煉固定模式：6 個主題（指數運算、比較大小、科學記號、有效數字、常用對數、素養綜合），柯↔A++ 字面重合最高達 0.97–0.99）
固定模式 6 段
高銘
A++ 教研編輯
柯文定
整份公版 15 段：灰＝大家共同的固定模式（歸總部），紅＝老師原創（計貢獻）
高銘 · 「排序」四策略決策表＋凹凸性比較法、「雙曲函數」分型、白話心法、「基準值比較」框架（v2026.2 併入審核中）A++ 教研編輯 · 學資題群 7 題（梅森質數、班佛定律、十二平均律、pH 倍數）＋統一解析頁柯文定 · 計算機按鍵流程圖版面、指數十分逼近夾擊估 log2（公版骨架供稿）

大考對齊：106 學測：手機連點三次接近 81³、105 學測：雙放射性物質求半衰期、102 學測：2.6¹⁰/2.6¹¹ 組合式比較、101 指考甲：2x＋y＝3 上 9ˣ＋3ʸ 極值、93 學測：100¹⁰、10¹⁰⁰、50⁵⁰、50! 比較、87 聯考：垃圾山量級估算

學習目標

讀完這份教材，學生應該要能做到的事。

  • ✓理解指數由正整數推廣到實數的過程與五條指數律
  • ✓會依底數 a>1 或 0<a<1 判斷指數大小關係，並選擇化同底/化同指數策略
  • ✓掌握科學記號、有效數字與常用對數的量級思維
  • ✓能將指對數應用於複利、半衰期、地震、pH、分貝、視星等真實模型

一、概念解釋

核心觀念的白話講解，附公式與最常見的陷阱提醒。

1. 指數的推廣與指數律

a⁰＝1（a≠0）；a⁻ⁿ＝1∕aⁿ；a^(m∕n)＝ⁿ√(aᵐ)

指數從正整數逐步推廣：零指數、負整數、分數、無理數（以數列極限理解 a^√2），0⁰ 無意義。

五條指數律（挖空供課堂填寫）：同底相乘指數加、相除指數減、冪的冪相乘、積與商的次方分配。

關鍵恆等式（陰影方框）：aˣ＋a⁻ˣ ≥ 2；(aˣ＋a⁻ˣ)² ＝ (aˣ−a⁻ˣ)²＋4——對稱式題型的核心工具。

重點提醒　aˣ±a⁻ˣ 對稱式獨立成「雙曲函數」題型，先練恆等式再做遞推，配觀察類題歸納通式。（高銘老師原創分型，v2026.2 併入）

2. 比較大小的策略

a>1：x>y ⇔ aˣ>aʸ；0<a<1：反向

四策略決策表：①化同底數（2⁻³ vs 32⁻⁰·⁶）②化同指數（√3 vs ³√4 vs ⁴√5 取公倍次方）③化 10 底（3ⁿ>2¹⁰⁰ 取 log）④圖形凹凸性。

凹凸性免計算比較：指數函數凹向上，故 (10³·⁹⁹＋10⁴·⁰¹)∕2 > 10⁴——平均值大於中點函數值，102 學測排序題直接判讀。

重點提醒　解題先辨識方法：公版例題預印「本題採用方法為＿＿」，強迫先選策略再動筆。

3. 常用對數與量級

10^(log a) ＝ a；對數值＋1 ⇔ 原始值×10

「原始數值—指數形式—對數形式」三層對照圖貫穿全主題：log 就是數量級。

log2≈0.3010 不用背：以「指數十分逼近夾擊」五步驟在數線上逐位夾出，理解對數值的來歷。

性質雙數線圖：原始值的乘法世界 ↔ 對數值的加法世界；|p−q| 與 |q−r| 的非線性對應是固定考型。

重點提醒　白話心法：log₂3 想成「x 是一個『把 2 變成 3』的次方」，正逆雙向翻譯訓練。（高銘老師原創，v2026.2 併入）

4. 指對數的真實模型

pH＝−log[H⁺]；分貝＝20·log(聲壓比)；m＝−(5∕2)log(I∕I₀)

公版固定收錄四大素養模型：芮氏地震（logE(r)＝5.24＋1.44r）、pH 值、噪音分貝、視星等。

共同結構＝「基準值比較」：皆為 log(量測值∕基準值) 的線性變換，掌握一個框架通吃四種情境。

另有複利、人口倍增、細菌成長、半衰期、傳染病模型 I(t)＝1∕(1＋a·7^(−bt)) 等指數應用固定題組。

重點提醒　「基準值比較」框架：把跨科情境統一為同一數學結構再代公式，防止逐題背模型。（高銘老師原創，v2026.2 併入）

二、題目演練

由淺入深的例題，每題都標註出自哪位老師的版本。

例 1基礎固定模式（3 份版本皆有）

設 (2.5)ˣ ＝ (0.025)ʸ ＝ 1000，求 1∕x − 1∕y。

解　2.5＝1000^(1∕x)、0.025＝1000^(1∕y)，兩式相除：2.5∕0.025＝100＝1000^(1∕x−1∕y)＝10^(3(1∕x−1∕y))，故 1∕x−1∕y＝2∕3。
例 2基礎固定模式（3 份版本皆有）

比較 √3、³√4、⁴√5 的大小。

解　取 12 次方（化同指數）：3⁶＝729、4⁴＝256、5³＝125，故 √3 > ³√4 > ⁴√5。
例 3標準固定模式（3 份版本皆有；高銘版「雙曲函數」型二同題）

設 a^(1∕2)＋a^(−1∕2)＝3，求 a＋a⁻¹ 與 a²＋a⁻²。

解　平方：a＋2＋a⁻¹＝9 ⇒ a＋a⁻¹＝7；再平方：a²＋2＋a⁻²＝49 ⇒ a²＋a⁻²＝47。
例 4標準固定模式（3 份版本皆有）

f(x)＝4ˣ∕(4ˣ＋2)，求 f(1∕101)＋f(2∕101)＋…＋f(100∕101)。

解　驗證 f(x)＋f(1−x)＝1：f(1−x)＝4^(1−x)∕(4^(1−x)＋2)＝2∕(2＋4ˣ·... )，化簡兩式相加為 1。100 項配成 50 組，總和＝50。
例 5綜合大考真題（柯版回家作業11；高銘版例14 同題）

【105 學測】甲、乙兩放射性物質初始等量，60 小時後甲剩量為乙的 8 倍，已知甲的半衰期，求乙的半衰期。

解　剩量比 (1∕2)^(60∕a) ÷ (1∕2)^(60∕b) ＝ 8 ＝ 2³ ⇒ 60∕b − 60∕a ＝ 3，代入甲的半衰期解 b。
例 6綜合固定模式（3 份版本皆有）

傳染病模型 I(t)＝1∕(1＋a·7^(−bt))：已知 I(0)＝1∕8、I(3)＝1∕2，求 a、b 與第 9 週感染比例。

解　I(0)＝1∕(1＋a)＝1∕8 ⇒ a＝7＝7¹；I(3)＝1∕(1＋7^(1−3b))＝1∕2 ⇒ 1−3b＝0、b＝1∕3。I(9)＝1∕(1＋7^(1−3))＝1∕(1＋7⁻²)＝49∕50。

三、進階題

大考等級與素養情境題，解析預設收合，方便學生先自己想。

進階 1A++ 2026 編輯原創收錄（GIMPS 情境學資題）

【建中學資】梅森質數 2⁵²¹−1 是幾位數？（log2≈0.3010）

看解析

log(2⁵²¹)＝521×0.3010≈156.8，故 2⁵²¹ 為 157 位數；2⁵²¹ 非 10 的冪，減 1 不改變位數，答 157 位。

進階 2固定模式（柯／A++ 閱讀素養專章同題組）

【閱讀素養】ISO216 影印紙：A 系列長寬比 √2:1、A0 面積 1 m²。求 A4 的長寬，並說明對折後比值不變的原因。

看解析

長 √2、寬 1 的紙對折後為長 1、寬 √2∕2，比值仍 √2:1，故不變。A0 長 ⁴√2 m、寬 2^(−1∕4) m；A4 長寬各為 A0 的 1∕4 倍：約 29.7cm×21.0cm。

版本歷程

公版教材是活的：每年對照大考與老師的新原創內容改版。

  1. v2025.02025-07-15柯文定 2025 版為骨架底稿（三層對照圖、十分逼近夾擊、計算機版面）
  2. v2026.02026-01-20A++ 2026 年度演進：學資題群 7 題＋統一解析頁＋班佛定律/十二平均律素養題
  3. v2026.12026-08-02三版比對定稿：公版規格＋公版教材產出
  4. v2026.2審核中高銘 4 項原創（排序四策略、雙曲函數、白話心法、基準值比較）併入審核