2026 正-高一上數與式、指對數(A++) [M1部署驗證]

觀念

觀念1：數系

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 介紹自然數、整數、有理數、實數等數系的集合記號表示法。

觀念2：記號「∈」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明「∈」表示屬於某集合，並用例子表達元素屬於實數或整數集合。

觀念3：記號「∀」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明「∀」表示「對所有／任意」的量詞意義。

觀念4：記號「∃」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明「∃」表示「存在」的量詞意義。

觀念5：整除記號「a∣b」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 定義 a∣b 表示 a 是 b 的因數、b 是 a 的倍數。

觀念6：最大公因數、最小公倍數與互質

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 介紹 gcd(a,b)、lcm(a,b) 的記號與「互質」的意義。

觀念7：階乘

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 定義 n!＝1×2×3×⋯×n，稱為 n 階乘。

觀念8：最大值與最小值的常用縮寫

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明 maximum 與 minimum 的常用簡寫符號/寫法。

觀念9：高斯符號

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 定義 [x] 為不大於 x 的最大整數，並以小數與負數舉例說明。

例題

例1：高斯符號求值

• 考點: 利用 [x] 為不大於 x 的最大整數來計算指定數的高斯值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求出 [5.34]、[3]、[-3.24] 的值。

分型架構

無

教學特色

• 以「挖空填空」方式整理常用記號與數系符號，讓學生完成符號—意義對應的筆記式練習。

觀念

觀念1：何謂有理數

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明能寫成 $p/q$（$p,q\in\mathbb Z,q\neq0$）形式的數稱為有理數，並以 $\mathbb Q$ 表示。

觀念2：有理數四則運算的封閉性

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 兩個有理數相加、相減、相乘、相除（除數不為0）結果仍是有理數，稱具有封閉性。

觀念3：有理點

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 在數線上，有理數所對應的點稱為有理點。

觀念4：用尺規作圖作出 $2/3$（已知單位長1）

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 示範以尺規透過作圖步驟在數線上構作出長度 $2/3$。

觀念5：有理數的稠密性

• 講解方式: 推導
• 摘要: 說明任兩有理數 $a<b$ 間可取 $x=(a+b)/2$ 使得 $a<x<b$，因此有理數在數線上稠密。

觀念6：自然數與整數的分散性

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明自然數與整數具分散性（不同的兩數有正距離），並提到 $|a-b|$ 的數線意義。

例題

例1：真分數法則／假分數法則比較分數大小

• 考點: 利用真分數法則與假分數法則判斷 $a/b$、$(a+y)/(b+y)$、$(a+x)/(b+x)$ 等分數大小關係。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a>b,x>y$（皆正數），比較兩組分式（含加同量於分子分母）的大小。

例2：循環小數化為分數

• 考點: 將不同型態的循環小數轉換成分數表示。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 將題目給的多個循環小數（如 $0.\overline{7}$、$0.\overline{73}$ 等）化為分數。

例3：循環小數與分數性質判斷（選正確）

• 考點: 判斷循環小數等值、大小比較、分數化小數是否為有限小數、循環節位數推理。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 就多個敘述（含循環小數加法、大小比較、等值、分數化小數型態與第100位數字）選出正確選項。

例4：四捨五入與分數條件求值

• 考點: 由最簡分數分子分母差與四捨五入結果反推分數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 最簡分數分子分母相差7，化為小數四捨五入到小數第1位得0.5，求該分數。

例5：有限小數條件下的分母限制

• 考點: 有限小數判別（約分後分母質因數僅含2與5）求使 $105/a$ 為有限小數的 $a$ 最大值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a<100, a\in\mathbb N$，求使 $105/a$ 為有限小數的最大 $a$。

例6：分數介於兩分數間求最小分母（回家作業1）

• 考點: 利用分數夾擠與不等式找出存在 $b/a$ 介於兩分數間時 $a$ 的最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b$ 為正整數，若 $b/a$ 介於 $3/24$ 與 $2/17$ 之間，求 $a$ 最小值。

例7：判斷哪些分數可化為有限小數（回家作業2）

• 考點: 以約分後分母因數判斷分數是否為有限小數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 從五個分數選項中判斷哪些可化為有限小數。

例8：分數範圍對應到循環小數（回家作業3）

• 考點: 將循環小數 $0.1\overline{a2}$ 轉分數並配合不等式求數字 $a$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a$ 為1到9正整數，且 $13/90<0.1\overline{a2}<15/90$，求 $a$。

例9：循環小數相加寫成分數求分子（回家作業4）

• 考點: 將循環小數表示成分數並進行加法化為指定分母形式。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $5.\overline{23}+0.\overline{523}=k/990$，求 $k$。

例10：判斷 $1/17$ 是否循環小數並求第112位（回家作業5）

• 考點: 分數化小數的循環性與循環節長度／定位某位數字。
• 附圖: 無
• 標記: 學校名
• 題幹摘要: 以手算與計算機說明 $1/17$ 是否為循環小數，並求小數點後第112位數字（題旁註北一女中學資）。

例11：限制分子分母積範圍下的有理數個數（回家作業6／105數乙）

• 考點: 在 $1\le mn\le 8$ 的限制下計數不同的最簡分數 $n/m$（同值只算一次）。
• 附圖: 無
• 標記: 學測年份
• 題幹摘要: 考慮 $n/m$（$m,n$ 為正整數且 $1\le mn\le8$），問不同的數值共有幾個（標示105數乙試題）。

例12：連分數表示求 $a-b+c-d$（數位延伸閱讀1）

• 考點: 由連分數等式求整數參數並計算指定線性組合。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a+\frac1{\,b+\frac1{\,c+\frac1d\,}\,}= \frac{37}{13}$，求 $a-b+c-d$。

例13：整數分散性（絕對值方程）解的組數（數位延伸閱讀2）

• 考點: 利用整數分散性／絕對值和為定值的限制計數整數解組數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b,c\in\mathbb Z$ 且 $|a+1|+3|b+2|+4|c+3|=3$，求整數對 $(a,b,c)$ 有幾組解。

分型架構

無

教學特色

• 多處採用「挖空填空」式觀念框，要求學生補上關鍵定義與性質（如 $\mathbb Q$、封閉性、分散性敘述）。
• 以尺規作圖示意構作分數長度（$2/3$）結合圖解步驟。
• 觀念後接「能力指標」例題與「回家作業／延伸閱讀」分區，形成由例題到練習的梯度編排。

觀念

觀念1：何謂無理數

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 定義無理數為不能寫成分數形式 $p/q$（$p,q\in\mathbb Z,q\neq 0$）的實數，並舉例 $\sqrt2,\sqrt[3]3,\sqrt7,\pi$。

觀念2：無理數可看成

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明無理數可視為不循環的無限小數。

觀念3：無理數的性質

• 講解方式: 推導
• 摘要: 推得若 $a,b,c,d\in\mathbb Q$ 且 $a+b\sqrt2=c+d\sqrt2$，則必有 $a=c$ 且 $b=d$。

觀念4：無理數雙根號運算

• 講解方式: 推導
• 摘要: 推導 $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt a+\sqrt b$（$a,b>0$）與 $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt a-\sqrt b$（$a>b>0$）。

觀念5：尺規作圖的三要素與尺規數運算

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 說明尺規作圖工具/步驟要素，並以圖示解釋用尺規作出乘法、除法、開平方根等運算（含相似三角形配置）。

觀念6：在數線作出 $\sqrt a$ 無理點

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 提供兩種作圖法在數線上定位 $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4$ 等無理點（梯形/直角構造與弧線搬運）。

例題

例1：哪些可用尺規作圖

• 考點: 判斷給定根式/分式/巢狀根式是否為可尺規作圖的數
• 附圖: 兩種在數線上依序作出 $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4$ 的作圖示意（直角折線與弧線搬運）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知單位長為 1，從選項中判斷哪些數可用尺規作圖得到。

例2：無理數係數比較求 $a,b$

• 考點: 利用「有理部分與 $\sqrt5$ 部分係數必相等」求未知有理數
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b\in\mathbb Q$ 且 $4a+3\sqrt5+b=2a\sqrt5+1-2b\sqrt5$，求 $a,b$。

例3：已知含 $\sqrt2$ 的根為一根求另一根

• 考點: 代入已知根並用無理數性質分離有理/無理部分求係數與另一根
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x^2+ax+b=0$（$a,b\in\mathbb Q$）且 $1+\sqrt2$ 為一根，求 $a,b$ 與另一根。

例4：雙根號化簡後求分式值

• 考點: 將 $\sqrt{11+6\sqrt2}$ 化為 $3+\sqrt2$ 並利用整數/小數部分計算
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $\sqrt{11+6\sqrt2}$ 的整數部分為 $a$、小數部分為 $b$，求 $\frac1b-\frac7{a+b}$。

例5：設係數為有理數的雙根號配對比較

• 考點: 把各雙根號化為 $\sqrt m\pm\sqrt n$ 後比較係數求 $x,y$
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y\in\mathbb Q$，若 $x\sqrt{3-2\sqrt2}+y\sqrt{17-12\sqrt2}=\sqrt{43-30\sqrt2}$，求 $x,y$。

例6：小數部分（分數部分）性質求值

• 考點: 設 $a=n+b$（$n\in\mathbb Z$、$0\le b<1$）並代入方程求可能值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 正實數 $a$ 的小數部分為 $b$，且 $a^2+b^2=38$，求 $a,b$。

例7：有理數與無理數運算敘述判別

• 考點: 判斷有理/無理數在冪、和差、乘積下是否必為有理/無理
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 選出關於 $a^2,a^6$、$a^5,a^7$、以及有理數與無理數相加相乘等敘述何者正確。

例8：立即練習(1) $\sqrt{5+2\sqrt6}$

• 考點: 以 $a+b\pm2\sqrt{ab}$ 型式化簡雙根號
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{5+2\sqrt6}$。

例9：立即練習(2) $\sqrt{6-2\sqrt5}$

• 考點: 以 $a+b\pm2\sqrt{ab}$ 型式化簡雙根號
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{6-2\sqrt5}$。

例10：立即練習(3) $\sqrt{4-2\sqrt3}$

• 考點: 以 $a+b\pm2\sqrt{ab}$ 型式化簡雙根號
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{4-2\sqrt3}$。

例11：立即練習(4) $\sqrt{17+12\sqrt2}$

• 考點: 以 $a+b\pm2\sqrt{ab}$ 型式化簡雙根號
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{17+12\sqrt2}$。

例12：立即練習(5) $\sqrt{2-\sqrt3}$

• 考點: 將巢狀根式轉為平方後配對化簡
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{2-\sqrt3}$。

例13：回家作業1（小數部分）

• 考點: 用小數部分 $b$ 表示 $a=n+b$ 並代入關係式求目標值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a$ 的小數部分為 $b$，且 $a^2+2b^2=15$，求 $a+2b$。

例14：回家作業2（判斷有理數）

• 考點: 判斷根式/含循環小數/巢狀根式/含 $\pi$ 的數之有理性
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 從選項 $\sqrt{0.4}$、$\sqrt{0.\overline{08}\times0.\overline{72}}$、$\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}$、$\frac23\pi$ 中選出有理數。

例15：回家作業3（整數條件求小數部分）

• 考點: 以 $a=n+b$ 且 $a+b^2$ 為整數推出 $b$ 的可能值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 正數 $a$ 的小數部分為 $b(b\neq0)$ 且 $a+b^2$ 為整數，求 $b$。

例16：回家作業4（有理×無理必無理的判斷）

• 考點: 分析 $a\in\mathbb Q$、$b\notin\mathbb Q$ 時和差積商是否必為無理
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 $a$ 有理、$b$ 無理，判斷 $a+b,a-b,ab,a/b,a^2+b^2$ 何者必為無理數。

例17：回家作業5（使 $M$ 為有理數求 $M$）

• 考點: 將雙根號化簡並配合係數使無理部分相消以判定 $M$
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a$ 為正有理數且 $M=a\sqrt{19-8\sqrt3}+\dfrac{\sqrt{21-3\sqrt{48}}}{2a}$ 為有理數，求 $M$。

例18：回家作業6（尺規作圖可作出的長度）

• 考點: 判斷含平方根/立方根/ $\pi$/循環小數的數是否可尺規作圖
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知單位長，從 $\frac{\sqrt5+1}{2}$、$\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}$、$\pi$、$\sqrt{0.4}$、$\sqrt[3]{108}/\sqrt[3]{4}$ 選出可用尺規作圖得知長度者。

例19：回家作業7（雙根號化簡）

• 考點: $\sqrt{a\pm\sqrt b}$ 型式配平方化簡
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}$。

例20：數位延伸閱讀1（夾擠 $\sqrt{31}$）

• 考點: 用整數夾擠估算根號值所在整數區間
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $k$ 為整數且 $\frac{k}{3}<\sqrt{31}<\frac{k+1}{3}$，求 $k$。

例21：數位延伸閱讀2（夾擠雙根號）

• 考點: 先化簡 $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$ 再以不等式夾擠求整數 $n$
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $n$ 為正整數且 $\frac{n}{2}<\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}<\frac{n+1}{2}$，求 $n$。

例22：數位延伸閱讀3（幾何中有理長度判定）

• 考點: 由直角、半圓（直徑所對直角）與垂線關係判定哪些線段長必為有理
• 附圖: 半圓以 $AC$ 為直徑、圓心 $O$；點 $B$ 在 $AC$ 上；$BD\perp AC$、$BE\perp OD$，連結 $AD,DC,DO,DE,BE,EO$
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $AB,BC$ 為有理數，判斷選項所列線段長哪些必為有理數。

例23：數位延伸閱讀回家作業1（半圓幾何＋根式化簡）

• 考點: 用半圓直徑定理與線段長代入，將 $BD$ 表為 $a+b\sqrt3$ 並求 $(a,b)$
• 附圖: 以 $AC$ 為直徑的半圓，$B$ 在 $AC$ 上，過 $B$ 作垂直 $AC$ 交半圓於 $D$，標示 $A,B,C,D$
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知共線點 $A,B,C$ 且 $B$ 介於 $A,C$ 間，給 $AB=3+2\sqrt3$、$BC=-9+14\sqrt3$，以 $AC$ 為直徑作半圓並作 $BD\perp AC$，將 $BD$ 化為 $a+b\sqrt3$ 求 $(a,b)$。

分型架構

• 無

教學特色

• 以「無理數係數分離（有理部分與 $\sqrt{\cdot}$ 部分分別相等）」作為核心解題手法並給出反證式推導。
• 以雙根號標準型 $\sqrt{a+b\pm2\sqrt{ab}}$ 統整化簡，並配合「立即練習」密集演算。
• 以尺規作圖（乘、除、開平方根；在數線定位 $\sqrt a$）的圖解方式連結無理數與可作圖數。

觀念

觀念1：何謂實數

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明有理數集與無理數集的聯集為實數集（以 ℝ 表示）。

觀念2：實數的運算性質

• 講解方式: 表格
• 摘要: 整理實數在加乘運算下的結合律、交換律、分配律與消去律。

觀念3：實數的次序性質

• 講解方式: 表格
• 摘要: 整理實數大小關係的三一律、遞移律、加法律與乘法律（含乘以正負數不等號方向）。

觀念4：實數性質

• 講解方式: 表格
• 摘要: 列出平方非負、平方和非負，以及平方和為 0 或 ≤0 時推出變數為 0 的性質。

觀念5：實數的封閉性

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 定義實數對加減乘除（除數不為 0）運算後結果仍為實數的封閉性。

觀念6：實數的稠密性

• 講解方式: 推導
• 摘要: 以取中點 $x=(a+b)/2$ 推導證明任兩實數 a<b 間必存在另一實數 x（a<x<b）。

例題

例1：由平方和為 0 求 x、y

• 考點: 利用「平方和等於 0 則各項皆為 0」的實數性質解聯立條件。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知含 $x,y$ 的平方項組合等於 0 且 $x,y\in\mathbb R$，求 x、y。

例2：由多變數平方和為 0 求 x、y、z

• 考點: 利用「平方和等於 0 則各項皆為 0」的實數性質處理三變數條件。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知含 $x,y,z$ 的平方項組合等於 0 且 $x,y,z\in\mathbb R$，求 x、y、z。

例3：判斷哪些敘述為假（有理/無理運算）

• 考點: 有理數與無理數在加、乘下不一定保持無理/有理的反例與判別。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 就四個關於無理數、有理數與實數和積/差的敘述，判斷何者為假。

例4：判斷哪些敘述為真（稠密性與冪為有理的推論）

• 考點: 稠密性（區間內有無窮多有理/無理）與「某些冪為有理」對 a 的限制推論。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 判斷多個敘述真偽：2 與 3 間的有理/無理數無窮多，以及 a 的冪為有理時可推出的結論等。

例5：整數 a,b,c,d 的不等式求 abcd

• 考點: 以不等式條件限制整數並求四數乘積的可能值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a,b,c,d$ 為整數且滿足含平方與乘積的比較不等式，求 $abcd$ 的值。

例6：由平方和等式求 x,y,z,u

• 考點: 利用「平方和達到特定等式」推出各變數取定值（常用非負性與等號成立條件）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $x,y,z,u\in\mathbb R$ 且滿足一個由 $x^2,y^2,z^2,u^2$ 組成的等式，求 x,y,z,u。

例7：有理與無理混合的敘述判真

• 考點: 判別「有理×無理、無理±無理、絕對值」等運算結果是否必為無理的反例/必然性。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 x,y 為有理數、a,b 為無理數，判斷多個關於 $ax+3$、$\frac{ab}{xy}+(\cdot)$、$|a|+|b|$、$ax$ 等的敘述哪些為真。

例8：判斷哪些敘述為真（質數/無理、無理數組合、存在性）

• 考點: 以反例與存在性論證判別有理/無理相關敘述真偽。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 判斷多個敘述真偽：質數是否無理、兩無理數的和差積中至少一個無理、由某些線性組合為有理推出 a,b,c 為有理、以及存在特定無理數 a,b 等。

例9：二元配方法求 x、y

• 考點: 以對 y 配方（配方法）處理二元二次式等於 0 的條件並求解。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知一個含 $x,y$ 的二次式等於 0 且 $x,y\in\mathbb R$，用配方法求 x、y。

例10：集合 S={-1,0,1} 的封閉性

• 考點: 檢驗集合對加法與乘法是否封閉（封閉性定義與反例）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 給定 $S=\{-1,0,1\}$，判斷 S 對加法、乘法是否具有封閉性。

例11：整數條件下求 y−x 的最大值

• 考點: 由二次式等式限制整數解並最大化線性式 $y-x$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 x,y 為整數且滿足一個含二次項的等式，求 $y-x$ 的最大值。

分型架構

無

教學特色

無

觀念

觀念1：全部實數(有理數和無理數)和數線上的點形成一對一的對應

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明每個實數都可用數線上一個點表示，且點與實數一一對應。

觀念2：數線上二點間距離

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 以數線上 A(x₁)、B(x₂) 表示兩點，定義並求兩點距離 d(A,B)（本質為座標差的絕對值）。

觀念3：數線上內分點公式

• 講解方式: 推導
• 摘要: 若 P 內分 AB 且 AP:PB=m:n，則 P 座標 x 可由 x=(mx₂+nx₁)/(m+n) 求得，並給出比值推導。

觀念4：數線上外分點公式

• 講解方式: 推導
• 摘要: 若 P 外分 AB 且 AP:PB=m:n，則 P 座標 x 可由 x=(mx₂−nx₁)/(m−n) 求得，並給出比值推導。

例題

例1：內外分點求點座標

• 考點: 利用 AP/BP 的比求數線上點 P 的座標（內分與外分皆可）。
• 附圖: 數線線段圖，A 在 3、B 在 5，標示 P 的位置並以弧線標出比值 3 與 2（含內分圖與外分圖各一）。
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 A(3)、B(5)，且 AP/BP=3/2，求 P 的座標。

例2：分點位置比較大小

• 考點: 以數線分點概念（內分比例）判斷 a、b 與多個加權平均數的大小關係。
• 附圖: 多條數線線段圖，端點為 a 與 b，分別標出 1/2、2/3、3/4、4/5 等位置的分點刻度。
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 b>a>0，比較 a、b、(a+b)/2、(a+2b)/3、(3a+b)/4、(2a+3b)/5 的大小關係。

例3：幾何情境轉數線分點（角平分線/外角平分線）

• 考點: 利用角平分線定理與外角平分線定理將點 P、Q 視為 BC 的內分點與外分點，進而求其在數線上的座標。
• 附圖: 三角形 ABC（AB=7、AC=5、BC=9），BC 畫成水平數線，B 為原點；A 的角平分線交 BC 於 P、外角平分線交延長線於 Q。
• 標記: 學校名
• 題幹摘要: 將 BC 貼在數線上且 B 為原點，已知 AB、AC、BC，求角平分線交點 P 與外角平分線交點 Q 的座標。

例4：內分比求座標（回家作業1）

• 考點: 套用內分點公式由端點座標與 AP:PB 求分點座標。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 數線上 A(2)、B(-5)、P(x)，已知 AP:BP=3:4，求 x。

例5：面積比轉分點（回家作業2）

• 考點: 以同高三角形面積比等於底邊比，將 ΔPAC 與 ΔPBC 面積比轉為 AC:BC（或相對於 AB 的分點比）求 C 在 x 軸上的座標。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 A(-6,0)、B(4,0)、P(99,2010)，C 在 x 軸上且 ΔPAC 面積為 ΔPBC 的 4 倍，求 C 座標。

例6：由多個分式表示的數比較（回家作業3）

• 考點: 透過 r<s 推出線性分式 a,b,c,d,e 的大小排序。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 r<s，定義 a=(2r+3s)/5、b=(2r+5s)/7、c=(2r+7s)/9、d=(13r−2s)/11、e=(15s−2r)/13，求 a,b,c,d,e 的大小關係。

例7：含根式分數的大小比較（回家作業4）

• 考點: 比較含 √2、√3 的分式大小（可用估值或同分母/有理化等技巧）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 比較 a=(2√2+√3)/3、b=(3√2+2√3)/5、c=(√2+√3)/2、d=(√18+√3)/4 的大小。

例8：無理數密度（延伸閱讀）

• 考點: 證明任兩個不相等的有理數之間必存在無理數（利用構造內分點並導出 √2 為有理數的矛盾）。
• 附圖: 數線線段圖，端點 a、b，中間點 x，並以弧線標示從 a 到 x 為 1、從 x 到 b 為 √2 的比例示意。
• 標記: 無
• 題幹摘要: 證明兩個不相等的有理數之間至少存在一個無理數，並以右圖構造與推理說明。

分型架構

無

教學特色

• 內分點、外分點公式皆附「說明」以比例式推導公式。
• 例題1同時用兩張數線示意圖對照「內分」與「外分」兩種情況。

觀念

觀念1：絕對值的定義

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 用分段定義說明 $|x|$ 在 $x\ge 0$ 與 $x<0$ 時的表示。

觀念2：絕對值的幾何意義

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $|x|$ 是數到原點距離、$|x_1-x_2|$ 是兩數在數線上的距離。

觀念3：在數線上求絕對值等式/不等式的解

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 以數線表示 $|x|=a$、$|x|<a$、$|x|>a$、$|x|\le a$、$|x|\ge a$、$|x-1|\le 3$ 等解集。

觀念4：絕對值不等式的結論（轉成範圍不等式）

• 講解方式: 推導
• 摘要: 整理 $|x|\le a$、$|x|<a$、$|x|\ge a$、$|x|>a$（$a>0$）對應的區間/聯集形式。

觀念5：數線不等式與中心半徑型的互換

• 講解方式: 推導
• 摘要: 將 $m\le x\le M$ 與 $\left|x-\frac{M+m}{2}\right|\le \frac{M-m}{2}$ 互換，並給出 $\ge$ 型對應的外側解集。

觀念6：絕對值不等式（三角不等式）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出 $\big||a|-|b|\big|\le |a+b|\le |a|+|b|$ 的基本不等式鏈。

觀念7：絕對值等號成立條件（同號/異號性質）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $|a+b|=|a|+|b|$（同號）與 $|a-b|=|a|+|b|$（異號）成立的條件。

例題

例1：由解集反推參數 $a,b$

• 考點: 由 $|ax+1|\le b$ 的解集區間反推參數並注意 $a$ 正負造成不等號方向差異
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $|ax+1|\le b$ 的解為 $-1\le x\le 5$，求 $a,b$。

例2：解雙邊絕對值不等式 $\,3<|2x-1|<5$

• 考點: 將 $|\cdot|$ 分正負兩種情況並配合雙邊不等式求解集
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解不等式 $3<|2x-1|<5$。

例3：解含兩個絕對值的方程 $|x-2|+|x-1|=6$

• 考點: 以臨界點分段討論絕對值方程
• 附圖: 一條數線（標出分段區間①②③，臨界點在 1、2 附近）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解方程 $|x-2|+|x-1|=6$。

例4：素養情境距離費用的不等式建模

• 考點: 用數線距離（絕對值）建模並解不等式求位置範圍
• 附圖: 無
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 路段上水廠 $A(-2)$、電廠 $B(4)$，基本費＝住戶到電廠距離的 3 倍＋到水廠距離，求基本費不超過 22 的住戶座標 $x$ 範圍。

例5：判斷何時 $ab<0$（利用絕對值等號條件）

• 考點: 利用 $|a\pm b|$ 與 $|a|\pm|b|$ 的等號成立條件判斷 $a,b$ 同號或異號
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b\ne 0$，問哪個條件可推出 $ab<0$：(1)$|a|+|b|=|a+b|$ (2)$|a|-|b|=|a+b|$ (3)$|a|-|b|=|a-b|$ (4)$|a-5|+|b-5|=|a-b|$。

例6：已知 $|x-2|\le 3, |y+1|\le 2$ 求含多個絕對值/根式的值

• 考點: 把 $\sqrt{(\cdot)^2}$ 視為絕對值並用已知範圍化簡整體表達式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 在 $|x-2|\le 3, |y+1|\le 2$ 下，計算 $|2x-11|+|y+5|+|2y-3|+\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{(x+y+12)^2}$。

例7：比較不同絕對值不等式解集在數線上的長度

• 考點: 將 $|x-a|\le r$ 轉成區間並由區間長度判斷選項
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 比較選項 (A)$|x|\le 8$ (B)$|x|\ge -8$ (C)$|x-1|\le 4$ (D)$|2x-1|\le 2$ (E)$3\le |x+1|\le 11$，問何者的解集長度為 8。

例8：由 $|px+1|\ge q$ 的解集判定參數 $(p,q)$

• 考點: $|\cdot|\ge$ 型解集為兩側外區間，反推中心與半徑（或臨界點）求參數
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $|px+1|\ge q$ 的解為 $x\ge 7$ 或 $x\le -1$，求實數對 $(p,q)$。

例9：解 $|x+1|+|2x-3|=4$

• 考點: 以臨界點分段討論兩個一次式絕對值的和為定值的方程
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解方程 $|x+1|+|2x-3|=4$。

例10：解聯立絕對值不等式

• 考點: 分別求兩個絕對值不等式的解集再取交集
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解不等式組 $\begin{cases}|x-1|\ge 3\\ |2x+3|<5\end{cases}$。

例11：包裝重量容許誤差的絕對值表示與數線區間改寫

• 考點: 將「標示值±誤差」轉為 $|x-a|\le r$；把數線開區間轉為絕對值不等式
• 附圖: 產品標籤「容量：30±3g」；以及一段數線區間圖（兩段開圓點區間）
• 標記: 學校名
• 題幹摘要: (1) 由重量標示寫出重量 $x$ 的絕對值範圍式；(2) 將所示數線區間用一條絕對值不等式表示。

例12：解 $4<|2-3x|\le 16$

• 考點: 絕對值雙邊不等式拆成兩個範圍並注意嚴格/非嚴格界線
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求不等式 $4<|2-3x|\le 16$ 的解集。

例13：學測題—由 $|4x-12|\le 2x$ 的解集長度求選項

• 考點: 解絕對值不等式並計算所得區間長度
• 附圖: 無
• 標記: 學測年份
• 題幹摘要:（103 學測）滿足 $|4x-12|\le 2x$ 的實數 $x$ 形成的區間，其長度為何（選擇題）。

例14：延伸閱讀—證明 $|a|+|b|\ge |a+b|$ 並推出 $|a-b|\ge ||a|-|b||$

• 考點: 絕對值不等式的證明（常用平方化）與由一式推得另一式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b\in\mathbb R$，證明 $|a|+|b|\ge |a+b|$，並利用結果證明 $|a-b|\ge \big||a|-|b|\big|$。

例15：延伸閱讀—性質循環應用證明分式絕對值小於 1

• 考點: 以平方化/代數變形證明 $\left|\frac{a+b}{1+ab}\right|<1$，並推廣到三變數的循環形式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $|a|<1,|b|<1$ 證 $\left|\frac{a+b}{1+ab}\right|<1$；再用(1)與 $|c|<1$ 證 $\left|\frac{a+b+c+abc}{1+ab+bc+ca}\right|<1$。

例16：延伸閱讀—由 $|a|<1,|b|<1$ 證 $ab+1>a+b$ 並推廣

• 考點: 不等式性質的連鎖推廣（由二變數推到三變數）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $|a|<1,|b|<1$ 證明 $ab+1>a+b$；並由(1)結果與 $|c|<1$ 推得 $abc+2>a+b+c$。

例17：延伸閱讀—證明含 $\frac{|a+b|}{1+|a+b|}$ 的不等式

• 考點: 運用絕對值不等式（如三角不等式）進行分式不等式證明
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 證明 $\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$。

分型架構

• 無

教學特色

• 用數線圖解呈現絕對值等式/不等式解集與區間概念。
• 提供「法1/法2」多解法對照（由不等式推區間、由區間反推參數）。
• 延伸閱讀以「平方化」作為絕對值不等式證明的固定套路（$(\cdot)^2$ 化簡）。

觀念

觀念1：絕對值基本觀念

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 用分段定義說明絕對值 $|a|$ 在 $a\ge0$ 與 $a<0$ 時的取值，並示範基本計算。

觀念2：折線函數

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 介紹由一次式與多個絕對值項組成的函數型式 $y=ax+b+c|x-x_1|+d|x-x_2|+\cdots$ 稱為折線函數。

觀念3：折線函數作圖法（分段討論去絕對值法）

• 講解方式: 推導
• 摘要: 以 $y=|x|+|x-2|$ 為例，依轉折點分區間去絕對值寫成分段函數來作圖，並指出轉折點 $x$ 為使絕對值內一次式為 0 的數。

觀念4：折點速畫法

• 講解方式: 表格
• 摘要: 先找轉折點（列出 $x$ 值），將折點連起來並在最左與最右端各多取一點即可快速畫出折線函數圖形。

觀念5：中位數法則／折線法則（圖形底部形狀判別）

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 歸納折線函數（絕對值個數）為奇數時圖形底部呈尖尖，為偶數時底部呈平平的特徵。

例題

例1：折線極值（求最小值與對應 $x$ 範圍）

• 考點: 利用絕對值和的折線圖形／中位數法則求函數最小值及達成最小值的 $x$ 範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求 $f(x)=|x-1|+|x-2|+|x+3|$ 的最小值與使其取最小值的 $x$ 值或範圍。

例2：折線不等式

• 考點: 以分段討論或作圖法解含絕對值的不等式。
• 附圖: 座標軸空白作圖區
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解不等式 $|x|+|x-1|\ge 2|x-2|$。

例3：折線方程式（參數範圍）

• 考點: 由折線圖形判斷含參數方程式有解的條件，求參數範圍。
• 附圖: 折線函數圖（標出點如 $(-1,-3),(0,-3),(1,-1),(2,3),(3,3)$ 的折線）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 承上題，若方程式 $|x|+|x-1|-2|x-2|=k$ 有解，求 $k$ 的範圍。

例4：折線法則應用（火柴盒移動最少次數）

• 考點: 將「最少移動量」建模為絕對值和（折線函數）並用折線法則找最小值。
• 附圖: 4 個方框成菱形連線圖，框內數字 4、7、15、6（表示各盒火柴數）
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 四個火柴盒分別有 4、7、15、6 根，沿相鄰盒順/逆時針移動火柴使最後各盒相同，求最少需移動幾根。

例5：回家作業第1題（折線方程式有實數解的 $k$ 範圍）

• 考點: $|x-a|+|x-b|$ 的取值範圍（最小值為兩點距離）判斷參數使方程式有解。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $|x-1|+|x-5|=k$ 有實數解，求 $k$ 的範圍。

例6：回家作業第2題（限制區間下的最小值與達成區間）

• 考點: 在指定 $x$ 範圍內用折線函數/中位數法則求最小值與取到最小值的區間。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 當 $x$ 的範圍為某區間時，求 $f(x)=|x|+|x-2|+|x-3|+|x-8|$ 的最小值。

例7：回家作業第3題（根式轉絕對值的最小值問題）

• 考點: $\sqrt{(x-a)^2}=|x-a|$ 化為折線函數後求最小值與達成點。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求何時 $f(x)=\sqrt{x^2-2x+1}+\frac12\sqrt{x^2-4x+4}+\frac15\sqrt{x^2-10x+25}$ 取最小值及最小值。

例8：回家作業第4題（折線函數最大最小值）

• 考點: 含係數的絕對值和之折線函數取值（最大/最小）分析。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求 $f(x)=2|x|+|x-1|-3|x-2|$ 的最大值與最小值。

例9：回家作業第5題（作圖、交點與轉折點；水平線交點個數）

• 考點: 由折線函數式作圖並讀出轉折點、與 $x$ 軸交點；判斷 $f(x)=a$ 的解的個數與參數範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $f(x)=-\frac32|x+1|+\frac32|x-3|+2x-2$，(1) 作 $y=f(x)$ 並標出與 $x$ 軸交點及轉折點，(2) 若 $f(x)=a$ 有三個實數解，求 $a$ 的範圍。

分型架構

• 型一：折線極值——以絕對值和（折線圖形）求最小值及達成最小值的 $x$ 範圍。
• 型二：折線（極值/取值）——改變絕對值平移點配置，求最小值與對應 $x$（或範圍）。
• 型三：折線（加權絕對值）——如 $|x-1|+2|x-2|+3|x-3|$ 的加權情形求最小值/極值。
• 型四：折線（分數權重）——如 $|x-1|+\frac12|x-2|+\frac13|x-3|$ 的加權情形求最小值/極值。
• 型五：折線（含減號組合）——如 $|x|+|x-1|-|x-2|$ 的折線函數取值分析。

教學特色

• 以「法1 分段討論去絕對值法」與「法2 折點速畫法」並列，提供作圖的雙方法策略。
• 用圖形歸納「奇偶個數決定底部尖/平」的中位數法則（折線法則）作為速解口訣。
• 題組化分型（型一～型五）整理折線函數不同配置/權重的常見題型。

觀念

觀念1：算術平均與幾何平均（A、G 的定義）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 介紹在 $a\ge 0,b\ge 0$ 下算術平均 $A=\frac{a+b}{2}$ 與幾何平均 $G=\sqrt{ab}$ 的定義。

觀念2：算幾不等式 $A\ge G$ 與等號成立條件

• 講解方式: 推導
• 摘要: 推導 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$（由 $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge 0$）並指出等號當且僅當 $a=b$。

例題

例1：兩變數在和/積固定下求最值

• 考點: 以 $A\ge G$ 將固定和（或固定積）問題轉成乘積/線性式的最大最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: (1) $x,y>0, x+y=16$ 求 $xy$ 最大值；(2) $x,y>0, xy=6$ 求 $2x+3y$ 最小值。

例2：成功高中學資—由約束式求 $ab$ 範圍

• 考點: 用 $A\ge G$（或等價的平方非負）在二次型約束 $a^2+4b^2=12$ 下估計乘積 $ab$ 的上下界。
• 附圖: 無
• 標記: 學校名
• 題幹摘要: 已知 $a,b$ 實數且 $a^2+4b^2=12$，求 $ab$ 的範圍。

例3：含倒數的條件下求乘積最小值

• 考點: 以 $A\ge G$ 處理 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$ 這類倒數限制，求 $ab$ 的最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b>0,\ \frac1a+\frac2b=1$，求 $a\times b$ 的最小值。

例4：一元式 $a+\frac{4}{a+1}$ 的最小值

• 考點: 用 $A\ge G$（常見於正數兩項和）求含分式的一元最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a>-1$，求 $a+\frac{4}{a+1}$ 最小值。

例5：圍籬面積最大化（靠牆、留出入口）

• 考點: 把面積表示成兩正量乘積後用 $A\ge G$ 求最大面積並求對應邊長。
• 附圖: 無
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 用 21 公尺鐵絲網靠牆圍三邊、三邊各留 1 公尺出入口，求最大面積 $M$ 與長邊 $k$（求 $(M,k)$）。

例6：回家作業1—固定 $a^2+b^2$ 求 $(a+b)^2$ 最大值

• 考點: 由平方和固定推到和的最大值（可配合 $A\ge G$ 或等價不等式）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 兩正數 $a,b$ 滿足 $a^2+b^2=4$，求 $(a+b)^2$ 最大值。

例7：回家作業2—分式二次函數型最小值

• 考點: 以 $A\ge G$（或配方/不等式）求 $4x^2+2x+\frac{18}{2x^2+x+1}$ 的最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $x\in\mathbb R$，求 $y=4x^2+2x+\frac{18}{2x^2+x+1}$ 的最小值。

例8：回家作業3—沿河圍三邊、面積固定求最短鐵絲長

• 考點: 固定面積下用 $A\ge G$ 求矩形三邊周長最小（最佳為特定比例）。
• 附圖: 無
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 沿河一邊不圍成矩形土地，面積 200 平方公尺，求最少需多少公尺鐵絲。

例9：回家作業4—$(x+\frac1y)(y+\frac1x)$ 最小值

• 考點: 展開後以 $A\ge G$ 處理 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$ 類型，求最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y$ 皆為正數，求 $\left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)$ 的最小值。

例10：數位延伸閱讀1—固定和求 $xy^2z^3$ 最大值

• 考點: 多變數加權 AM-GM，在 $x+y+z$ 固定下求帶冪次乘積最大值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y,z>0,\ x+y+z=6$，求 $xy^2z^3$ 最大值。

例11：數位延伸閱讀2—固定乘積求線性組合最小值

• 考點: 多變數（加權）AM-GM 由固定 $xy^2z^3$ 求 $3x+2y+z$ 的最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y,z>0,\ xy^2z^3=64$，求 $3x+2y+z$ 最小值。

例12：半圓內接矩形最大面積

• 考點: 幾何情境下把面積轉成兩正量乘積並用 $A\ge G$ 求最大值。
• 附圖: 半圓內接矩形圖（半徑 4 的半圓，矩形底在直徑上，右上角連到圓心的線段標 4）
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 半徑為 4 的半圓形場地內圍出最大矩形花圃，求其最大面積。

例13：數位延伸閱讀回家作業1—體積固定求長方體表面積最小

• 考點: 三變數 AM-GM（體積固定）求表面積最小，對稱時取等號。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知長方體體積 $27\text{ cm}^3$，求其表面積最小值。

例14：數位延伸閱讀回家作業2—$a+b+c$ 固定下多種乘積最大值

• 考點: 加權 AM-GM 在 $a+b+c$ 固定下分別求 $abc, a^2bc, ab^2c^3$ 的最大值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b,c>0,\ a+b+c=6$，分別求 (1) $abc$ 最大值 (2) $a^2bc$ 最大值 (3) $ab^2c^3$ 最大值。

分型架構

無

教學特色

• 以代數推導 $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge 0$ 證明 $A\ge G$，並明確標出等號成立條件 $a=b$。
• 搭配半圓幾何示意圖輔助理解算幾不等式的幾何意涵。

觀念

觀念1：實數區間

• 講解方式: 表格
• 摘要: 整理開區間、閉區間、半開區間與無限區間的表示法與對應不等式，並用數線示意端點開閉。

例題

例1：不等式重組求代數式範圍

• 考點: 由 $|2x-7|\le 3, |y-1|\le 2$ 轉成 $x,y$ 的範圍並求各種代數式（線性/乘積/平方和/分解式/商）的最大最小值
• 附圖: 數線分段示意圖（用來處理 $\frac{x}{y}$ 的範圍，標出 $-2,0,\frac23$ 等臨界點與不連續處）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $x,y$ 的絕對值不等式限制，分別求 $3x-2y,\,xy,\,x^2+y^2,\,xy+x-y+1,\,\frac{y}{x},\,\frac{x}{y}$ 的範圍。

例2：給定 $x,y$ 區間求 $xy$、$\frac{x}{y}$ 範圍（作業1）

• 考點: 已知矩形區域 $x\in[-2,5],y\in[3,8]$ 下乘積與商的極值/範圍判定
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $-2\le x\le 5,\,3\le y\le 8$，求 (1) $xy$ (2) $\frac{x}{y}$ 的範圍。

例3：絕對值限制下判斷敘述正確（作業2）

• 考點: 由 $|x-2|\le 3, |y+7|\le 4$ 推得 $x,y$ 範圍並檢核差、積、平方、商等不等式選項
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y$ 為實數且滿足 $|x-2|\le 3, |y+7|\le 4$，判斷(A)~(E)何者正確。

例4：不等式條件下選出正確結論（作業3）

• 考點: 比較大小條件 $x>y, m>n, xy\ne0$ 下不等式運算（加減、乘法、平方、倒數）正確性判斷
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 $x>y, m>n$ 且 $xy\ne0$，在(A)~(E)中選出正確選項。

例5：比較大小條件下判斷正確敘述（作業4）

• 考點: $a>b, c>d$ 下加法保序、平方與絕對值關係、同加同減、倒數不等式等判斷
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 $a,b,c,d$ 皆為實數且 $a>b, c>d$，判斷(A)~(E)何者正確。

例6：二變數線性/雙線性式求範圍（作業5）

• 考點: 在區間限制 $x\in[-3,1],y\in[2,8]$ 下求 $xy-3x+2y+1$ 的最大最小值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $x,y\in\mathbb R$ 且 $-3\le x\le 1, 2\le y\le 8$，求 $xy-3x+2y+1$ 的範圍。

例7：線性函數參數限制下求函數值範圍（延伸閱讀1）

• 考點: 由 $f(x)=ax+b$ 與 $0<f(1)<3,\;1<f(2)<2$ 的線性不等式組合推出 $f(3)=3a+b$ 的範圍
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $f(x)=ax+b$、$0<f(1)<3$、$1<f(2)<2$，求 $f(3)$ 的範圍。

分型架構

無

教學特色

• 示錯教學：在求 $\frac{x}{y}$ 範圍時特別標出「$y=0$ 計算易出錯」，提醒商的範圍需注意分母為 0 的不連續與分段處理。

觀念

觀念1：和的平方公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明並列出 $(a+b)^2$ 的展開與等價變形。

觀念2：差的平方公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明並列出 $(a-b)^2$ 的展開與等價變形。

觀念3：平方差公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 以利乘積化簡與因式分解。

觀念4：三項和的平方公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ 的展開。

觀念5：巴斯卡三角形

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 用巴斯卡三角形係數對應 $(a+b)^n$ 展開各項係數。

觀念6：高次基本公式（$(x\pm y)^n$ 展開表）

• 講解方式: 表格
• 摘要: 列出 $(x\pm y)^2\sim(x\pm y)^5$ 的展開結果作為查表套用。

觀念7：和的立方公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出 $(a+b)^3$ 的展開與改寫成 $a^3+b^3+3ab(a+b)$。

觀念8：差的立方公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出 $(a-b)^3$ 的展開與改寫成 $a^3-b^3-3ab(a-b)$。

觀念9：立方和公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$（並提示 $x^3+1$ 套用）。

觀念10：立方差公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$（並提示 $x^3-1$ 套用）。

觀念11：特殊因式分解（$x^4+x^2+1$、$a^4+a^2b^2+b^4$）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出兩種常見高次多項式的分解型式以便化簡。

觀念12：二次型恆等式 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 將 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ 改寫為 $\tfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$。

觀念13：三項立方公式（含 $a+b+c=0$ 推論與同號性）

• 講解方式: 推導
• 摘要: 推導 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ 並給出 $a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$ 等結論。

觀念14：高次公式（$a^n\pm b^n$ 因式分解）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 整理 $a^n-b^n$ 與（$n$ 為奇數時）$a^n+b^n$ 的因式分解通式與 $x^n\pm1$ 應用。

例題

例1：連乘分式的平方差消去

• 考點: 用 $k^2-1=(k-1)(k+1)$ 造成連乘約分的望遠鏡型化簡。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 計算 $\frac{3^2}{3^2-1}\times\frac{4^2}{4^2-1}\times\cdots\times\frac{32^2}{32^2-1}$ 的值。

例2：把連乘改寫成差平方（或平方差）得到 $2^n-1$

• 考點: 以平方差分解連續配對 $(8^m-1)=(8^{m/2}-1)(8^{m/2}+1)$ 形成望遠鏡結果。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $7\times9\times(8^2+1)\times(8^4+1)\times(8^8+1)=2^n-1$，求 $n$。

例3：辨認被開方數為完全平方

• 考點: 利用乘法公式把乘積加常數改寫成完全平方以便開根號。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求 $\sqrt{95\times99\times101\times105+144}$ 的值。

例4：倒數完全平方式下的根式化簡（用 $x+\frac1x$）

• 考點: 由 $(x-\frac1x)^2=x^2+\frac1{x^2}-2$ 將兩個根式化為已知量並利用條件 $0<x<1$ 判號。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 $0<x<1$，化簡 $\sqrt{x^2+\frac1{x^2}+2}-\sqrt{x^2+\frac1{x^2}-2}$。

例5：已知 $x+y$、$x^2+y^2$ 求 $\frac1x-\frac1y$

• 考點: 用 $(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$ 先求 $xy$、$x-y$，再求 $\frac{y-x}{xy}$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $x>y$，且 $x+y=2,\ x^2+y^2=5$，求 $\frac1x-\frac1y$。

例6：連乘式等於 $4^n-1$ 的指數判定

• 考點: 以平方差/倍角式把 $4^n-1$ 分解成一串 $(8^{2^k}\pm1)$ 的乘積對照。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $7\times9\times(8^2+1)\times(8^4+1)\times(8^8+1)=4^n-1$，求 $n$。

例7：兩個分式平方和差的望遠鏡

• 考點: 將 $\frac{k^2}{2k-1}-\frac{k^2}{2k+1}$（或類似）改寫成可相消的連加結構求和差。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $x=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\cdots+\frac{50^2}{99}$，$y=\frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\cdots+\frac{50^2}{101}$，求 $x-y$。

例8：由 $a+b+c=0$ 與平方和求四次方和

• 考點: 用 $(a+b+c)^2$ 連結 $ab+bc+ca$，再用 $(a^2+b^2+c^2)^2$ 表達 $a^4+b^4+c^4$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a+b+c=0,\ a^2+b^2+c^2=1$，求 $a^4+b^4+c^4$。