2025 資-高一上數與式、指數與對數（柯文定）

觀念

觀念1：數系

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 介紹自然數、整數、有理數、實數集合的常用記號 N、Z、Q、R。

觀念2：記號「∈」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明「∈」表示屬於，並用 x∈R、a,b∈Z 作例子。

觀念3：記號「∀」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明「∀」表示「所有的」。

觀念4：記號「∃」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明「∃」表示「存在」。

觀念5：整除記號「a∣b」

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明 a∣b 表示 a 是 b 的因數、b 是 a 的倍數。

觀念6：最大公因數/最小公倍數與互質記號

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明 (a,b) 表最大公因數、[a,b] 表最小公倍數，以及互質可記為 (a,b)=1。

觀念7：階乘

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 定義 n! = 1×2×3×…×n，讀作 n 階乘。

觀念8：最大值/最小值的縮寫

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明最大值常寫 max 或 M，最小值常寫 min 或 m。

觀念9：高斯符號

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 定義 [x] 為不大於 x 的最大整數，並給出正數與負數例子。

例題

無

分型架構

無

教學特色

• 以「觀念一～九」的框列整理常用記號，並用挖空填空強化記憶。

觀念

觀念1：何謂有理數

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 定義可寫成 $p/q$（$p,q$ 為整數且 $q\neq 0$、$(p,q)=1$）的數為有理數，並舉分數、整數、循環小數為例。

觀念2：有理數對四則運算的封閉性

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 兩個有理數做加減乘除（除法分母不為 0）結果仍為有理數，稱對四則運算具有封閉性。

觀念3：有理點

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 數線上與有理數對應的點稱為有理點。

觀念4：尺規作圖作出 $2/3$（已知單位長 1）

• 講解方式: 推導
• 摘要: 以比例/相似的尺規作圖概念推得長度 $2/3$ 的作法。

觀念5：有理數的稠密性

• 講解方式: 推導
• 摘要: 證明對任意兩有理數 $a<b$，取 $x=(a+b)/2$ 則有 $a<x<b$，說明有理數在數線上稠密。

觀念6：自然數與整數的分散性（及 $|a-b|$ 的數線意義）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明自然數、整數具有分散性（相異則至少差 1），並指出 $|a-b|$ 代表數線上兩點距離。

例題

例1：真假分數法則比較分式大小

• 考點: 利用假分數法則/真分數法則比較 $\frac{a+x}{b+y}$ 與 $\frac{a}{b},\frac{x}{y}$ 等相關分式大小（正數條件下）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a,b,x,y$ 為正且大小關係，分別比較兩組加法後分式的大小。

例2：循環小數化分數

• 考點: 將循環小數表示成分數（設未知數、位移相減法）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 把給定的循環小數（如 $0.\overline{7},0.\overline{73},0.\overline{456},0.\overline{9}$）化為分數。

例3：循環/有限小數判斷與敘述正誤

• 考點: 有限小數與循環小數的性質、循環小數大小比較、分數化小數型態判別與循環位數字判定。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 從多個關於小數運算比較、循環表示等敘述中選出正確選項。

例4：四捨五入反推既約分數

• 考點: 四捨五入到小數第 1 位的誤差範圍，結合最簡分數分子分母差固定求原分數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 既約分數分子分母相差 7，化小數後四捨五入到小數第一位得 0.5，求該分數。

例5：有限小數判別（分母質因數限制）

• 考點: 分數為有限小數当且仅当最簡分數分母只含 2、5 質因數；用此求參數最大值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 給 $a<100$（$a\in\mathbb{N}$），求使 $105/a$ 為有限小數的 $a$ 最大值。

例6：夾擠分數求最小分子

• 考點: 利用不等式 $\frac{3}{24}<\frac{a}{b}<\frac{2}{17}$（$a,b$ 正整數）找使條件成立的最小 $a$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $\frac{a}{b}$ 介於兩分數之間，求 $a$ 的最小值。

例7：判斷哪些分數可化為有限小數

• 考點: 約分後分母是否只含 2、5 以判斷有限小數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 在多個給定分數中判斷哪些能化為有限小數。

例8：由不等式判定一位數 $a$

• 考點: 讀取含 $a$ 的數值範圍不等式並求符合的數字（1~9）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a$ 為 1~9 正整數且滿足給定不等式，求 $a$ 的值。

例9：含參數 $k$ 的小數等式求值

• 考點: 小數與循環/位值運算的等式整理求參數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 由形如 $5.23\ldots$ 與 $0.523\ldots$ 的等式（含 990 與 $k$）求 $k$。

例10：有理數 $m/n$（$1\le m,n\le 18$）不同值個數（學測題）

• 考點: 約分後不同分數值的計數（等價分數視為同一值）。
• 附圖: 無
• 標記: 學測年份
• 題幹摘要: $m,n$ 為正整數且 $1\le m,n\le 18$，計算所有 $m/n$ 不同數值的個數（如 $1/2$ 與 $2/4$ 只算一個）。

例11：連分數條件求代數式值

• 考點: 連分數表示與整數條件下反推 $a,b,c,d$ 並計算指定線性組合。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 正整數 $a,b,c,d$ 滿足給定連分數等式，求 $a-b+c-d$（或題目指定之 $abcd-+-$）的值。

例12：整數分散性/絕對值方程組合數

• 考點: 利用絕對值方程（含係數）拆解並計數整數解組數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b,c\in\mathbb{Z}$ 且滿足 $|1+a|+3|2+b|+4|3+c|=3$，求整數數對/三元組 $(a,b,c)$ 的解的組數。

分型架構

• 無

教學特色

• 以「稠密性」用取中點 $x=(a+b)/2$ 並配合不等式推導分步（1°~4°）呈現證明流程。
• 在例1使用「真假分數法則」作為比較分式大小的技巧（將比較轉為交叉相減判號）。

觀念

觀念1：何謂無理數

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 說明無理數是不能寫成最簡分數形式 $p/q$（$p,q\in\mathbb Z,p\neq0,(p,q)=1$）的實數。

觀念2：無理數可看成

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明無理數可視為不循環的無限小數。

觀念3：無理數的性質

• 講解方式: 推導
• 摘要: 證明若 $a,b,c,d\in\mathbb Q$，則 $a+b\sqrt2=c+d\sqrt2 \Leftrightarrow a=c$ 且 $b=d$。

觀念4：無理數雙根號運算

• 講解方式: 推導
• 摘要: 推導 $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt a+\sqrt b$（$a,b>0$）與 $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt a-\sqrt b$（$a>b>0$）。

觀念5：（一）尺規作圖的三要素／（二）尺規數運算

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 說明尺規作圖只用無刻度直尺、圓規與有限步驟，並以作圖示意加減乘除與開平方根（含作 $a\times b$、作 $a/b$、作 $\sqrt{ab}$）。

觀念6：在數線作出 $\sqrt a$ 無理點

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 提供兩種尺規作圖法在數線上構作 $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4$ 等無理點位置。

例題

例1：判斷哪些數可用尺規作圖

• 考點: 尺規可作數的判別（由可作運算組合而成的長度）
• 附圖: 文字為主（選項為各式根號與分式表達式），無其他圖
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知單位長 1，問下列哪幾個數可用尺規作圖。

例2：利用無理數性質比較係數求 $a,b$

• 考點: 將含 $\sqrt5$ 的等式化為有理部與無理部係數相等來解未知數
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b\in\mathbb Q$ 且 $4a+3\sqrt5+b=2a\sqrt5+1-2b\sqrt5$，求 $a,b$。

例3：雙根號化簡後比較係數求 $x,y$

• 考點: 雙根號化簡與以無理數性質比較係數
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y\in\mathbb Q$，若 $x\sqrt{3-2\sqrt2}+y\sqrt{17-12\sqrt2}=\sqrt{43-30\sqrt2}$，求 $x,y$。

例4：雙根號化簡與整小數部分運算

• 考點: 將 $\sqrt{11+6\sqrt2}$ 化為 $3+\sqrt2$，再利用整數部/小數部計算
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $\sqrt{11+6\sqrt2}$ 的整數部分為 $a$、小數部分為 $b$，求 $\frac1b-\frac{7}{a+b}$。

例5：已知一根為 $1+\sqrt2$ 求二次方程係數與另一根

• 考點: 代入根於 $x^2+ax+b=0$ 並以比較有理/無理係數求 $a,b$，再求另一根
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b\in\mathbb Q$，若 $1+\sqrt2$ 為 $x^2+ax+b=0$ 一根，求 $a,b$ 及另一根。

例6：用小數部分條件解未知數

• 考點: 以「小數部分」設值與平方關係解方程
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 正實數 $a$ 的小數部分為 $b$，且 $a^2+b^2=38$，求 $a,b$。

例7：有理/無理數性質判斷敘述正誤

• 考點: 有理數與無理數在冪次、加法、乘法下的性質與反例
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 選出關於 $a^n$ 為有理數、無理數相加相乘等敘述何者正確。

例8：小數部分與代數式（回家作業1）

• 考點: 小數部分設 $b=a-\lfloor a\rfloor$ 的應用與聯立方程
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設正數 $a$ 之小數部分為 $b$，且 $a^2+2b^2=15$，求 $a+2b$。

例9：判斷何者為有理數（回家作業2）

• 考點: 根號與循環小數的有理性判別、根式化簡
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 多選題：判斷 $\sqrt{0.\overline4}$、$\sqrt{0.\overline{08}\times0.\overline{72}}$、$\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}$、$\frac23\pi$ 何者為有理數。

例10：小數部分 $b\neq0$ 且 $a+b^2$ 為整數（回家作業3）

• 考點: 以小數部分範圍（$0<b<1$）與整數條件求解
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 正數 $a$ 的小數部分為 $b(b\neq0)$，且 $a+b^2$ 為整數，求 $b$。

例11：有理數與無理數運算必為無理數者（回家作業4）

• 考點: 有理/無理在加減乘除下是否必為無理數的判別與反例
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a$ 為有理數、$b$ 為無理數，問 $a+b,a-b,ab,\frac{a}{b},a^2+b^2$ 何者必為無理數。

例12：根式化簡判定 $M$ 為何值（回家作業5）

• 考點: 將雙根號化簡並利用「$M$ 為有理數」推回 $M$ 的值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a$ 為正有理數且 $M=a\sqrt{19-8\sqrt3}+\dfrac{\sqrt{21-3\sqrt{48}}}{2a}$ 為有理數，求 $M$。

例13：哪些長度可用尺規作圖（回家作業6）

• 考點: 尺規可作數（由加減乘除與開平方根生成）的判別
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知單位長，判斷 $\frac{\sqrt5+1}{2}$、$\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}$、$\pi$、$\sqrt{0.\overline4}$、$\sqrt[3]{108}/\sqrt[3]{4}$ 哪些可尺規作圖。

例14：化簡 $\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}$（回家作業7）

• 考點: 雙根號化簡為一次根號（配平方/比較係數）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}$。

例15：夾擠估算整數 $k$（數位延伸閱讀1）

• 考點: 用整數平方估計 $\sqrt{31}$ 並轉成不等式求 $k$
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $k$ 為整數，已知 $\frac{k}{3}<\sqrt{31}<\frac{k+1}{3}$，求 $k$。

例16：雙根號化簡後估算整數 $n$（數位延伸閱讀2）

• 考點: 將 $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$ 化簡/估值以求整數夾擠
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $n$ 為正整數且 $\frac{n}{2}<\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}<\frac{n+1}{2}$，求 $n$。

例17：半圓幾何下判斷哪些線段長為有理數（數位延伸閱讀3）

• 考點: 幾何關係（半圓、垂直）導出線段長表達式並判別有理性
• 附圖: 半圓（圓心 O）與直徑 AC，B 在 AC 上，過 B 作 BD ⟂ AC，連到半圓上點 D，且 BE ⟂ OD（E 為垂足）的幾何圖
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $AB,BC$ 為有理數，問選項中的 $AD,BO,DE,BE,EO$ 哪些必為有理數。

例18：半圓幾何結合根式化簡求 $(a,b)$（數位延伸閱讀回家作業1）

• 考點: 線段長含 $\sqrt3$ 的代數運算與半圓（直角）幾何關係
• 附圖: 以 AC 為直徑的半圓，A-B-C 共線且 B 介於 A、C 之間，過 B 作垂直 AC 的線交半圓於 D，標示 A、B、C、D
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $AB=3+2\sqrt3$、$BC=-9+14\sqrt3$，以 AC 為直徑作半圓並作 $BD\perp AC$，若 $BD=a+b\sqrt3$（$a,b$ 正整數），求 $(a,b)$。

分型架構

無

教學特色

• 以「觀念一～六」分框整理，並穿插「立即練習」「回家作業」「數位延伸閱讀」做分層練習。
• 用反證法示範無理數性質（由 $a+b\sqrt2=c+d\sqrt2$ 推得係數相等）。
• 透過尺規作圖圖解呈現「可作數」與在數線上構作 $\sqrt a$ 的方法（提供法1/法2兩種作法）。

觀念

觀念1：何謂實數

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明實數集由有理數與無理數所組成，並以符號表示。

觀念2：實數的運算性質

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 列出實數運算的結合律、交換律、分配律與消去律等基本性質與適用條件。

觀念3：實數的次序性質

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 整理實數大小關係的三一律、遞移律，以及不等式在加法與乘法下的保序/反序性質。

觀念4：實數性質

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 彙整平方非負、平方和非負、平方和為0推出各項為0等常用性質與推論。

觀念5：實數的封閉性

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明實數對加減乘除（除法分母不為0）運算後仍為實數，稱具有封閉性。

觀念6：實數的稠密性

• 講解方式: 推導
• 摘要: 以取中點 $x=\frac{a+b}{2}$ 推得在任兩實數 $a<b$ 間必存在實數 $x$（且 $a<x<b$）。

例題

例1：由含平方和等式求x、y

• 考點: 利用實數性質（平方非負、平方和為0）解出變數值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知含 $x,y$ 的平方組合等式成立且 $x,y$ 為實數，求 $x,y$。

例2：由含平方和等式求x、y、z

• 考點: 利用實數性質（平方非負、平方和為0）解出多元變數值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知含 $x,y,z$ 的平方組合等式成立且 $x,y,z$ 為實數，求 $x,y,z$。

例3：判斷關於有理數/無理數運算結果的真偽(假)

• 考點: 有理數與無理數在加乘下不一定保持（以反例判斷敘述真偽）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 多個敘述涉及兩無理數或有理數與無理數的和、積（及和差/和積推回數的性質），判斷何者為假。

例4：判斷稠密性與冪為有理數的推論真偽(真)

• 考點: 稠密性（區間內有無窮多有理/無理數）與「實數的某些冪為有理數」的性質推論
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 判斷多個敘述何者為真，包含 $2$ 與 $3$ 間有無窮多有理/無理數、以及已知 $a^3,a^5$ 或 $a^4,a^6$ 為有理數時對 $a$ 的推論等。

例5：整數條件下由平方和不等式求abcd

• 考點: 利用平方非負與整數限制，從含平方和不等式推得變數取值與乘積
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $a,b,c,d$ 為整數且滿足含平方和的大小關係式，求四數乘積 $abcd$。

例6：由平方和等式求實數x、y、z、u

• 考點: 利用平方和為常數（及非負性）推出各變數值（常見為令各平方項達到特定情況）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $x,y,z,u$ 為實數且滿足含多個平方項的等式，求 $x,y,z,u$ 的值。

例7：有理/無理數混合運算真偽判斷

• 考點: 有理數與無理數在線性組合、乘積、絕對值運算下的可能性（用反例/必然性判斷）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $x,y$ 為有理數、$a,b$ 為無理數，判斷多個敘述哪些為真（含 $ax+3$、$ab+xy$、$|a|+|b|$、$ax$ 等）。

例8：判斷關於無理數差和、與條件推論的真偽

• 考點: 無理數在加減乘除下的性質不固定、以及由「某些和為有理數」推回原數的判斷
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 判斷多個敘述哪些為真，包含質數是否為無理數、兩無理數的 $a\pm b,ab$ 至少一個無理數、以及若若干和為有理數能否推出 $a,b,c$ 皆為有理數等。

例9：二元配方法由平方和等式求x、y

• 考點: 以二元配方法整理二次式並利用平方非負/平方和為0求解
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知含 $x,y$ 的二次式等於0且 $x,y$ 為實數，透過配方求 $x,y$。

例10：集合S在加法與乘法下的封閉性

• 考點: 封閉性的定義與以枚舉/檢驗判斷是否封閉
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 給定 $S=\{-1,0,1\}$，判斷其對加法、乘法是否具有封閉性。

例11：整數條件二次式=0求y-x最大值

• 考點: 利用整數限制與平方/配方（或判別式）從方程限制下求線性式最大值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $x,y$ 為整數且滿足給定二次式等式，求 $y-x$ 的最大值。

分型架構

無

教學特色

• 以條列方式系統整理「運算性質／次序性質／封閉性／稠密性」等性質，並在稠密性部分用取中點作推導示範。

觀念

觀念1：全部實數與數線上的點一一對應

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明有理數、無理數等全部實數都可在數線上以點表示且一一對應。

觀念2：數線上兩點距離公式

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 以 A(x1)、B(x2) 在數線上的位置說明兩點距離可用座標差的絕對值表示。

觀念3：數線上內分點公式

• 講解方式: 推導
• 摘要: 由比值關係推導內分點座標公式 $x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}$。

觀念4：數線上外分點公式

• 講解方式: 推導
• 摘要: 由比值關係推導外分點座標公式 $x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}$。

例題

例1：已知 AP:BP=3:2 求 P 座標

• 考點: 內分/外分點公式的套用以求分點座標
• 附圖: 數線示意圖（A=3、B=5，標出 P 及兩段比 3:2；並示外分時 P 在 B 右側的弧線標示）
• 標記: 無
• 題幹摘要: A(3)、B(5) 與 P 在數線上且 $\overline{AP}/\overline{BP}=3/2$，求 P 的座標。

例2：比較 a,b 與多個加權平均數的大小

• 考點: 用數線/分點位置判斷分點（加權平均）大小關係
• 附圖: 多條數線線段示意（端點 a、b，中間依不同分點比例標刻度位置）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $b>a>0$，比較 $a,b,\frac{a+b}{2},\frac{a+2b}{3},\frac{3a+b}{4},\frac{2a+3b}{5}$ 的大小關係。

例3：AB 17 等分求特定等分點座標並結合圓與根式

• 考點: 等分點的座標表示（線性內分）與結合幾何條件進一步求根式係數
• 附圖: 數線分點圖（A 在 a、B 在 b，中間標 a1,a2,a3,…,a14,a15,a16 等分點）
• 標記: 無
• 題幹摘要: A、B 在數線座標為 a、b，將 AB 平分為 17 等分，(1) 以 a、b 表 a14；(2) 令 Q=a3，以 AB 為直徑畫圓取點 P 使 PQ⊥AB，且給 $\overline{AB}=\sqrt{43-\sqrt{168}}$，將 $\overline{PQ}$ 表為 $r+s\sqrt{42}$ 求 (r,s)。

例4：已知 AP:BP=3:4 求 x

• 考點: 內分點公式（比例分點）求座標
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 數線上 A(2)、B(-5)、P(x)，已知 $AP:BP=3:4$，求 x。

例5：平面座標配合面積比求 x 軸上點 C

• 考點: 以線段分點（或同高三角形面積比）求 x 軸上點的位置
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: A(-6,0)、B(4,0)、P(99,2010)，C 在 x 軸上且 △PAC 面積為 △PBC 的 4 倍，求 C 座標。

例6：給定多個線性分式比較 a,b,c,d,e 大小

• 考點: 由 r<s 推出各線性組合的大小關係（比較數值大小）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 r<s，令 $a=\frac{2r+3s}{5}, b=\frac{2r+5s}{7}, c=\frac{2r+7s}{9}, d=\frac{13r-2s}{11}, e=\frac{15s-2r}{13}$，比較 a,b,c,d,e 大小關係。

例7：比較含根式的四個數大小

• 考點: 以數線/估值方式比較根式分式的大小
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 比較 $a=\frac{2\sqrt2+\sqrt3}{3}, b=\frac{3\sqrt2+2\sqrt3}{5}, c=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2}, d=\frac{\sqrt{18}+\sqrt3}{4}$ 的大小。

例8：兩有理數間必存在無理數（以反證）

• 考點: 無理數性質與反證法（構造介於兩有理數間的數）
• 附圖: 數線區間圖（a 到 b，取內分點 x，並標示分段比 1 : $\sqrt2$）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 證明任兩個不相等的有理數之間至少存在一個無理數。

分型架構

無

教學特色

• 以數線圖搭配弧線標示比例（內分/外分）輔助理解分點公式。
• 內分點、外分點公式均附「說明」以比例式逐步推導出座標公式。
• 延伸閱讀用反證法示範「構造內分點」來證明有理數間存在無理數。

觀念

觀念1：絕對值的定義

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 用分段方式定義 $|x|$（依 $x$ 正負分情況）。

觀念2：絕對值的幾何意義

• 講解方式: 定義式
• 摘要: $|x|$ 表示 $x$ 到原點距離，$|x_1-x_2|$ 表示 $x_1$ 到 $x_2$ 的距離。

觀念3：絕對值不等式的基本結論

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 整理 $|x|\le a,\ |x|<a,\ |x|\ge a,\ |x|>a$（含 $a$ 與 0 的關係）對應的解集形式。

觀念4：在數線上表示絕對值等式/不等式解集

• 講解方式: 挖空填空
• 摘要: 練習把 $|x|=\cdots,\ |x|<\cdots,\ |x|>\cdots$ 等轉成數線上的區間/範圍表示。

觀念5：數線不等式（含絕對值的區間型式）

• 講解方式: 推導
• 摘要: 將含 $|x-m|$ 的不等式轉換為 $x$ 的區間（如夾擠/在某距離內外等）並用數線語意描述。

觀念6：絕對值不等式（三角不等式型）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 整理 $|a-b|\le |a|+|b|$ 等絕對值不等式的常用結論。

觀念7：絕對值性質（同號/異號）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $|a+b|$ 在同號時可化為 $|a|+|b|$，異號時與 $|a|-|b|$ 的關係（同號性質、異號性質）。

例題

例1：由解集反推絕對值不等式中的參數

• 考點: $|ax+b|\le 1$ 的解集與端點對應，用來求 $a,b$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $|ax+b|\le 1$ 的解為 $-1\le x\le 5$，求 $a,b$。

例2：解含一次式的絕對值不等式

• 考點: $|2x-1|<5$ 型不等式轉為雙邊不等式求解。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解不等式 $3|2x-1|<5$。

例3：解絕對值方程（含兩個絕對值）

• 考點: $|2x-1|+|x+1|=6$ 分段討論（依臨界點）求解。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解方程 $|2x-1|+|x+1|=6$，求 $x$。

例4：解絕對值不等式（含兩個絕對值）

• 考點: $|2x-1|+|x+1|>2$ 分段討論求 $x$ 的範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解不等式 $|2x-1|+|x+1|>2$，求 $x$ 的範圍。

例5：判斷使不等式恆成立的敘述（選擇題）

• 考點: 絕對值性質與三角不等式的等價/推論，用於判斷恆成立條件。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b\neq 0$，問哪個敘述可使某不等式（關於 $|a\pm b|$ 與 $|a|,|b|$）恆成立。

例6：代入已知範圍計算含絕對值的代數式（選擇/填充）

• 考點: 由 $|2x-3|$、$|y+1|$ 的界推得目標式數值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $|2x-3|\le 3,\ |y+1|\le 2$，求某一組合式的值。

例7：比較多個不等式解集在數線上長度（選擇題）

• 考點: $|x-a|\le r$ 解集長度為 $2r$ 等，判斷哪個範圍長度為 8。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 比較選項 (A)~(E) 各不等式的解集，問哪個在數線上的長度為 8。

例8：由不等式解集反推參數 $p,q$

• 考點: $|px+q|\ge 1$ 的解集為兩端區間，利用臨界點求 $p,q$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 $|px+q|\ge 1$ 的解為 $x\ge 7$ 或 $x\le -1$，求 $(p,q)$。

例9：解含絕對值的方程並求實數解

• 考點: 絕對值方程分段討論求所有實根。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求方程 $|x+1|-|2x-3|=4$ 的實數解。

例10：解分式型絕對值不等式

• 考點: 含絕對值的分式不等式，先處理絕對值與分母限制再求解。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解不等式（題式為含 $|x|$ 與 $|2x-3|$ 的分式小於 0）。

例11：學測題—絕對值不等式解集的區間長度

• 考點: $|4x-1|\le 2$ 轉為雙邊不等式求區間並計算長度。
• 附圖: 無
• 標記: 學測年份
• 題幹摘要: (103學測) 求滿足 $|4x-1|\le 2$ 的 $x$ 所成區間長度（選擇）。

例12：證明三角不等式（用平方法）

• 考點: 證明 $|a+b|\le |a|+|b|$（及推得 $|a-b|\ge ||a|-|b||$）的典型方法。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: (1) 證明 $|a+b|\le |a|+|b|$；(2) 利用(1)證明 $|a-b|\ge ||a|-|b||$。

例13：性質循環應用—由 $|a|,|b|<1$ 推不等式

• 考點: 利用絕對值不等式（常用平方法）推得 $\frac{1+ab}{1-ab}<\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}$ 類型結論並延伸到三變數。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: (1) 已知 $|a|<1,|b|<1$ 證明一個分式不等式；(2) 再結合 $|c|<1$ 推廣到 $a,b,c$。

例14：性質循環應用—由 $|a|,|b|<1$ 推下界不等式

• 考點: 在 $|a|,|b|<1$ 條件下推得 $1+ab>a+b$ 類型結論並推廣。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: (1) 已知 $|a|<1,|b|<1$ 證明 $1+ab>a+b$；(2) 再由 $|c|<1$ 推得含 $a,b,c$ 的不等式。

例15：證明含 $|ab|$ 的不等式鏈

• 考點: 運用絕對值基本性質與三角不等式做不等式證明。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 證明一個關於 $\frac{1}{|ab|}$、$\frac{1}{|a|}$、$\frac{1}{|b|}$ 與 $|a|+|b|$ 的不等式（題目給定式子證明）。

分型架構

• 無

教學特色

• 絕對值證明題強調「一律採平方法」作為固定解題策略（示範在三角不等式等證明中）。

觀念

觀念1：絕對值基本觀念

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明絕對值的分段定義（a≥0 與 a<0）並以簡單例子示範計算。

觀念2：折線函數

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 介紹含多個絕對值的一次式和所組成的函數型式稱為折線函數。

觀念3：折線函數作圖法

• 講解方式: 推導
• 摘要: 說明折線函數作圖可用分段討論去絕對值，並指出轉折點的 x 座標來自使絕對值內一次式為 0 的解。

觀念4：折點速畫法

• 講解方式: 推導
• 摘要: 提供找轉折點、連折點並在左右端補點的步驟，快速畫出折線函數圖形。

觀念5：中位數法則／折線法則

• 講解方式: 推導
• 摘要: 歸納絕對值個數奇偶與圖形底部形狀的關係（奇數個底部尖、偶數個底部平）。

例題

例1：折線函數極值（最小值與對應 x）

• 考點: 以轉折點與圖形特徵求含絕對值折線函數的最小值及達到最小值的 x（或範圍）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 分別就型一到型五的折線函數，求其最小值與對應的 x 值或 x 範圍。

例2：折線不等式求解

• 考點: 解含多重絕對值的不等式，可用分段討論或作圖法判斷解集。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解不等式（含三個絕對值項的表達式）並給出解的範圍。

例3：折線方程式參數 k 範圍

• 考點: 利用折線函數圖形/值域判斷方程式有解時參數的取值範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 承例2，討論方程式（含參數 k）何時有解並求 k 的範圍。

例4：折線法則應用（火柴盒移動最少次數與方法數）

• 考點: 將「最少移動量」問題轉化為含絕對值的折線函數最小化（折線法則/中位數概念應用）。
• 附圖: 無
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 四盒火柴數為 4、7、15、6，僅能相鄰移動，問使最後每盒相同所需最少移動根數及不同移動方式數。

例5：折線方程式有解的 k 範圍（|x-1|+|x-5|=k）

• 考點: 由 |x-a|+|x-b| 的值域（最小值為兩點距離）判斷參數範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 |x-1|+|x-5|=k 有實數解，求 k 的範圍。

例6：指定 x 範圍下折線函數最小值

• 考點: 在限制區間內求多絕對值折線函數的最小值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 當 x 的範圍給定時，求 f(x)（由多個 |x-a| 組成）之最小值。

例7：代入特定 x（或求使最小的 x）之最小值

• 考點: 絕對值折線函數的極小值計算（可能結合配方/區間分析）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 在題目指定條件（給定 x 或求對應）下，求所給 f(x) 的最小值。

例8：折線函數最大最小值

• 考點: 對含絕對值的函數求最大值與最小值（比較端點/轉折點）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求 f(x)=2|x|+|x-1|-|3|-2|（依講義式子）之最大值與最小值。

例9：作折線函數圖形與參數 a 三解條件

• 考點: 畫出折線函數圖形、找 x 軸交點與轉折點，並用水平線與圖形交點數判斷 a 使方程式 f(x)=a 有三實根的範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: (1) 作 y=f(x) 圖並標出與 x 軸交點及轉折點；(2) 求使 f(x)=a 有三個實數解的 a 範圍。

分型架構

• 型一：以三個絕對值相加減的折線函數為例，求其最小值與對應 x。
• 型二：以四個絕對值相加減的折線函數為例，求其最小值與對應 x。
• 型三：以三個絕對值但係數/常數不同的折線函數為例，求其最小值與對應 x。
• 型四：以三個絕對值且含分數係數的折線函數為例，求其最小值與對應 x。
• 型五：以含 x（或多項）與絕對值混合的折線函數為例，求其最小值與對應 x。

教學特色

• 兩種作圖策略並列：分段討論去絕對值法、折點速畫法（步驟化速畫）。
• 提出「轉折點 x 座標＝絕對值內一次式為 0」的快速判斷。
• 歸納記憶型規則：中位數法則／折線法則（奇數尖、偶數平）。

觀念

觀念1：觀念一（兩數的算術平均≥幾何平均）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明對正數 $a,b$，有 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$（AM-GM）可用來估最大/最小值。

觀念2：觀念二（四數的算術平均≥幾何平均）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 對正數 $a,b,c,d$，有 $\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}$ 的 AM-GM 推廣式。

觀念3：觀念三（三數的算術平均≥幾何平均）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 對正數 $a,b,c$，有 $\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$ 可用於乘積或含根式的極值問題。

例題

例1：已知和求乘積最大值

• 考點: 用兩數 AM-GM 在 $x+y$ 固定下求 $xy$ 最大值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x>0,y>0,x+y=16$，求 $xy$ 的最大值。

例2：已知乘積求線性組合最小值

• 考點: 以 AM-GM（或配湊成兩項）在 $xy$ 固定下求 $2x+3y$ 最小值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x>0,y>0,xy=6$，求 $2x+3y$ 的最小值。

例3：倒數和固定求乘積最小值

• 考點: 透過代換/配湊用 AM-GM 在 $\frac1a+\frac2b$ 固定下求 $ab$ 最小值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b>0,\frac1a+\frac2b=1$，求 $ab$ 的最小值。

例4：含分式表達式最小值

• 考點: 以 AM-GM 或配方法處理 $a+\frac{4}{a+1}$ 的最小值（$a>-1$）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a>-1$，求 $a+\frac{4}{a+1}$ 的最小值。

例5：圍籬長度限制下矩形菜園面積最大

• 考點: 將周長/用料限制轉成兩變數乘積，利用 AM-GM 求矩形最大面積（素養情境）
• 附圖: 無
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 用 21 公尺鐵絲網靠屋後圍三邊且三邊各留 1 公尺出入口，求面積最大時的最大面積 $M$ 與長邊 $k$，並求數對 $(M,k)$。

例6：回家作業1：平方和固定求和的平方最大

• 考點: 在 $a^2+b^2$ 固定下，利用 AM-GM/柯西不等式求 $(a+b)^2$ 最大值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 兩正數 $a,b$ 滿足 $a^2+b^2=4$，求 $(a+b)^2$ 的最大值。

例7：回家作業2：含有理式的函數最小值

• 考點: 配湊成 AM-GM 可用的正項或轉換型態求 $4x^2+2x+\frac{18}{2x^2+x+1}$ 最小值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x\in\mathbb R$，求 $y=4x^2+2x+\frac{18}{2x^2+x+1}$ 的最小值。

例8：回家作業3：沿河圍三邊面積固定求用料最少

• 考點: 在矩形面積固定且只圍三邊時，用 AM-GM 求三邊總長最小（素養情境）
• 附圖: 無
• 標記: 素養情境
• 題幹摘要: 沿河圍矩形土地（靠河一邊不圍），面積 200 平方公尺，求最少需用多少公尺鐵絲。

例9：回家作業4：$(x+\frac1y)(y+\frac1x)$ 最小值

• 考點: 展開後以 AM-GM 處理 $xy+\frac1{xy}$ 或相關下界求最小值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y$ 皆為正數，求 $\left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)$ 的最小值。

例10：數位延伸閱讀1：三變數和固定求乘積型最大

• 考點: 用三數 AM-GM 在 $x+y+z$ 固定下求 $xy^2z^3$ 最大值（指數配權）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y,z>0,x+y+z=6$，求 $xy^2z^3$ 的最大值。

例11：數位延伸閱讀2：三變數乘積型固定求線性組合最小

• 考點: 以加權 AM-GM 在 $xy^2z^3$ 固定下求 $3x+2y+z$ 最小值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $x,y,z>0,xy^2z^3=64$，求 $3x+2y+z$ 的最小值。

例12：數位延伸閱讀3：半圓內接矩形最大面積

• 考點: 幾何設定轉代數（半徑約束）後用 AM-GM/配方法求矩形面積最大
• 附圖: 半徑為4的半圓，內接一矩形；圖上有半圓弧、矩形、以及由圓心到矩形右上角的線段並標示4
• 標記: 無
• 題幹摘要: 半徑為 4 的半圓形場地內圍出最大矩形花圃，求其最大面積。

例13：數位延伸閱讀回家作業1：體積固定的長方體表面積最小

• 考點: 三邊長正數且體積固定時，用 AM-GM 求表面積最小（正方體情形）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 長方體體積為 $27\text{ cm}^3$，求其表面積最小值。

例14：數位延伸閱讀回家作業2：和固定下多種乘積型最大

• 考點: 三數 AM-GM／加權 AM-GM 在 $a+b+c$ 固定下分別求 $abc,a^2bc,ab^2c^3$ 最大值
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $a,b,c>0$ 且 $a+b+c=6$，分別求 $abc$、$a^2bc$、$ab^2c^3$ 的最大值。

分型架構

無

教學特色

• 以「觀念一/二/三」分框列出 AM-GM 在 2、3、4 個正數的標準不等式，作為後續極值題的套用工具。
• 題目前加註「能力指標：A≥G」分類標籤，並穿插「應用」「回家作業」「數位延伸閱讀」等版面分區。

觀念

觀念1：實數區間

• 講解方式: 表格
• 摘要: 整理開區間、閉區間、半開區間與無限區間的表示法與對應不等式。

例題

例1：已知 |2x−7|≤3、|y−1|≤2 求多種代數式範圍

• 考點: 由絕對值不等式轉為 x、y 的區間後，求線性式/和/分式等的最小最大值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 在 x、y 各自落在區間限制下，分別求 3−2x、xy、x+y、1+xy−x−y、y/x、x/y 的取值範圍。

例2：設 2≤x≤5、−3≤y≤8 求 xy 與 x/y 的範圍

• 考點: 區間內二變數乘積與商的範圍判定（端點代入與符號分段）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 給定 x、y 的上下界，求 (1)xy、(2)x/y 的範圍。

例3：|2x|≤3 且 |7y|≤4 判斷敘述何者正確

• 考點: 由絕對值界限推得 x、y（及其乘積/分式）的可能範圍以做選項判斷。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: x、y 為實數且滿足兩個絕對值不等式，判斷 (A)~(E) 哪些敘述正確。

例4：x、y>m、n 但 xy≠0 選出正確選項

• 考點: 已知變數大小關係（大於某數）時，判斷差/乘積/倒數等不等式的正確性。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 在 x、y 與 m、n 的大小條件及 xy≠0 下，從 (A)~(E) 選出正確的不等式敘述。

例5：a、b、c、d 皆為實數且 ab>cd 判斷何者正確

• 考點: 比較大小關係在乘法、加法、倒數、絕對值等運算下是否必然成立（反例/性質辨識）。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 ab>cd，判斷 (A)ac>bd、(B)ac+bd>…、(C)1/ab<…、(D)若 ab<0 則 |a|<|b|、(E)ax+bx>… 等選項何者正確。

例6：x、y 為實數且 3≤(1/2)x≤8 求 3/(2xy)+x−y 的範圍

• 考點: 由鏈狀不等式化簡得到變數範圍，進而求含分式與線性組合之整體範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 給定 x、y 的範圍條件，求代數式 3/(2xy)+x−y 的取值範圍。

例7：不等式線性重組—已知 f(x)=a+fx 且 0<a<b<… 求 f 的範圍

• 考點: 以「希望乘上 k、m」做線性重組/配凑，將已知不等式組合成目標式以求範圍。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 在給定函數/線性式與 x 的區間限制下，透過不等式線性重組求 (3)f 的範圍。

分型架構

• 無

教學特色

• 以「不等式重組／線性重組」的方式（提示希望乘上 k、m）將已知界限組合成目標式，求值域/範圍。

觀念

觀念1：平方差公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明並使用 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 做因式分解或化簡。

觀念2：和的平方公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 的展開與應用。

觀念3：平方和求值

• 講解方式: 推導
• 摘要: 由和的平方公式推得 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ 以便已知 $a+b,ab$ 時求值。

觀念4：差的平方公式

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 的展開與應用。

觀念5：和的立方公式

• 講解方式: 推導
• 摘要: 給出 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，並改寫為 $a^3+3ab(a+b)+b^3$ 便於代入。

觀念6：立方和求值

• 講解方式: 推導
• 摘要: 由和的立方公式推得 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$，並寫成 $(a+b)((a+b)^2-3ab)$。

觀念7：立方和因式分解

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$（並舉 $x^3+1$ 的重要應用）。

觀念8：差的立方公式

• 講解方式: 推導
• 摘要: 給出 $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$，並改寫為 $a^3-3ab(a-b)-b^3$。

觀念9：立方差求值

• 講解方式: 推導
• 摘要: 由差的立方公式推得 $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$，並寫成 $(a-b)((a-b)^2+3ab)$。

觀念10：立方差因式分解

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$（並舉 $x^3-1$ 的重要應用）。

觀念11：巴斯卡三角形

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 用巴斯卡三角形係數對應 $(a+b)^n$ 的展開係數（示到 $n=5$）。

觀念12：基本公式（高次二項式展開例）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 列出 $(x\pm y)^2,(x\pm y)^3,(x\pm y)^4$ 的展開結果作為常用基本公式。

觀念13：高次式分解範例（$x^4+x^2+1$、$a^4+a^2b^2+b^4$）

• 講解方式: 推導
• 摘要: 示範將某些四次式改寫成平方差結構再分解成兩個二次因式。

觀念14：高次公式（$a^n\pm b^n$）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出 $a^n-b^n$ 與（$n$ 為奇數時）$a^n+b^n$ 的因式分解通式並列重要應用（如 $x^k\pm1$）。

例題

例1：連乘分式用平方差分解望遠鏡相消

• 考點: 利用 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 將分母分解後做連乘約分。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 計算 $\frac{3^2}{3^2-1^2}\times\frac{4^2}{4^2-1^2}\times\cdots\times\frac{32^2}{32^2-1^2}$ 的值。

例2：把多因子改寫成平方差連鎖相消求指數

• 考點: 將 $(8-1)(8+1)(8^2+1)(8^4+1)(8^8+1)$ 連結成 $8^{16}-1$（平方差遞推）並對應 $2^n-1$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $7\times9\times(8^2+1)(8^4+1)(8^8+1)=2^n-1$，求 $n$。

例3：利用完全平方（配成$(x^2-13)^2$）求根號值

• 考點: 乘法公式與配方將根號內化為完全平方。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求 $\sqrt{95\times99\times101\times105+144}$ 的值。

例4：倒數完全平方與絕對值化簡

• 考點: 將 $\sqrt{x^2+\frac1{x^2}\pm2}$ 視為 $\sqrt{(x\pm\frac1x)^2}=|x\pm\frac1x|$ 並用條件判號。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 $0<x<1$，化簡 $\sqrt{x^2+\frac1{x^2}+2}-\sqrt{x^2+\frac1{x^2}-2}$。

例5：已知 $a+b,ab$ 求多種對稱式（平方和、平方差、立方和、高次和）

• 考點: 由 $(a\pm b)^2$、$(a+b)^3$、以及高次分解/遞推求 $a^k+b^k$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a+b=5,ab=3$，求 $a^2+b^2,(a-b)^2,a^3+b^3,a^4+b^4,a^5+b^5$。

例6：倒數配方求 $x^n+\frac1{x^n}$

• 考點: 由 $x+\frac1x$ 推出 $x^2+\frac1{x^2}$、$x^3+\frac1{x^3}$ 及進一步組合求更高次。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $x+\frac1x=3$，求 $x^2+\frac1{x^2},x^3+\frac1{x^3},x^4+\frac1{x^4},x^5+\frac1{x^5}$。

例7：運用 $x^4+x^2+1$ 的分解技巧化簡

• 考點: 利用 $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ 與平方差拆解乘積。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡：(1) $(a+1)(a-1)(a^2+a+1)(a^2-a+1)$；(2) $(a+1)(a-1)(a^4+a^2+1)$。

例8：回家作業1—由 $x+y$、$x^2+y^2$ 求倒數差

• 考點: 由已知和與平方和求 $xy$，再化成 $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}$ 並用 $x>y$ 決定符號。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $x,y$ 為實數且 $x>y$，若 $x+y=2, x^2+y^2=5$，求 $\frac1x-\frac1y$。

例9：回家作業2—平方差連鎖化為 $4^n-1$ 求 $n$

• 考點: 以平方差將乘積 $(8-1)(8+1)(8^2+1)(8^4+1)(8^8+1)$ 化為 $8^{16}-1=(4^8)^2-1$ 類型比對。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $7\times9\times(8^2+1)(8^4+1)(8^8+1)=4^n-1$，求 $n$。

例10：回家作業3—平方差拆分分子求和差

• 考點: 將 $\frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)}$ 型（平方差）做部分分式/望遠鏡相消求總和差。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $x=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\cdots+\frac{50^2}{99}$，$y=\frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\cdots+\frac{50^2}{101}$，求 $x-y$。

例11：回家作業4—利用 $(a+b+c)^2$ 與對稱式求四次和

• 考點: 已知 $a+b+c=0$ 與 $a^2+b^2+c^2$ 時，利用平方展開關係求 $ab+bc+ca$ 再求 $a^4+b^4+c^4$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 $a,b,c$ 為實數且 $a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=1$，求 $a^4+b^4+c^4$。

例12：回家作業5—連乘四個相鄰數加1配成平方

• 考點: 利用 $(n-1)n(n+1)(n+2)+1=(n^2+n-1)^2$ 類型的配方成完全平方。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 $\sqrt{1999\times2000\times2001\times2002+1}$。

例13：回家作業6—連乘 $\prod(1-\frac1{k^2})$ 因式分解望遠鏡

• 考點: 將 $1-\frac1{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$ 望遠鏡相消求 $n$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 若 $n$ 為正整數且 $(1-\frac1{2^2})(1-\frac1{3^2})\cdots(1-\frac1{n^2})=\frac{501}{1000}$，求 $n$。

例14：回家作業7—套用 $x^4+x^2+1$ 分解求值

• 考點: 以 $a^2=5$ 代入並用 $(a^2-1)(a^4+a^2+1)=a^6-1$ 等結構快速計算。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $a^2=5$，求 $(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$ 的值。

例15：回家作業8—由 $a+b$、$a^2+b^2$ 求 $(a+b)^3$ 類展開值

• 考點: 將 $a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$ 視為 $(a+b)^3-ab(a+b)$（或等價整理）並用已知量求 $ab$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 $a,b$ 為實數且 $a+b=1, a^2+b^2=3$，求 $a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$。

例16：回家作業9—由線性組合與立方和求平方和

• 考點: 用 $(x+2y)^3=x^3+8y^3+6xy(x+2y)$ 連結已知 $x^3+8y^3$ 求 $xy$，再求 $x^2+4y^2$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設實數 $x,y$ 滿足 $x+2y=3,\ x^3+8y^3=9$，求 $x^2+4y^2$。

例17：回家作業10—用 $(x\pm y)^4$ 消去根號求整數部分

• 考點: 利用 $(\sqrt{11}+\sqrt{7})^4$ 與 $(\sqrt{11}-\sqrt{7})^4$ 的展開相加消去含根號項，求整數值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 利用乘法公式 $(x+y)^4$ 與 $(x-y)^4$ 的展開式，求 $(\sqrt{11}+\sqrt{7})^4$ 的整數部分。

例18：數位延伸閱讀1—以無窮乘積（平方差）求函數值對應

• 考點: 由 $f(x)f(x^2)=\frac{1}{1-x}$ 的望遠鏡結構處理無窮乘積並代入求 $a$。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: $f(x)=(1+x)(1+x^4)(1+x^{16})(1+x^{64})\cdots$，若 $f(\frac38)\cdot f(a)=\frac85$，求 $a$。

分型架構

無

教學特色

• 以「觀念一～十四」集中列出常用乘法公式與重要應用（含高次 $x^n\pm1$ 的分解）。
• 用巴斯卡三角形圖解連結二項式展開係數與 $(a+b)^n$ 展開式。

觀念

觀念1：觀念一：(a+b+c)^2 展開

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 給出三項和的平方與平方和、兩兩積之和的關係式。

觀念2：觀念二：由 (a+b+c)^2 反求 a^2+b^2+c^2

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 用 (a+b+c)^2 與 (ab+bc+ca) 表示平方和。

觀念3：觀念三：ab+bc+ca 的表示式與口訣

• 講解方式: 定義式
• 摘要: ab+bc+ca 可由「(和)^2 − (平方和)」的一半求得，並附口訣記憶。

觀念4：觀念四：a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca 的平方和表示

• 講解方式: 推導
• 摘要: 將 a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca 化為 1/2[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]。

觀念5：觀念五：a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca 的平方和表示

• 講解方式: 推導
• 摘要: 將 a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca 化為 1/2[(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2]。

觀念6：觀念六：不等式 a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca 與口訣

• 講解方式: 推導
• 摘要: 由平方和表示式推出「平方和≥兩兩之積的和」並給口訣。

觀念7：觀念七：a^3+b^3+c^3−3abc 的因式分解與推導

• 講解方式: 推導
• 摘要: 推導並給出 a^3+b^3+c^3−3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca)。

觀念8：觀念八：a^3+b^3+c^3−3abc 與 a+b+c 同號

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 由分解式判斷 a^3+b^3+c^3−3abc 的符號與 a+b+c 一致。

觀念9：觀念九：若 a+b+c=0 則 a^3+b^3+c^3=3abc

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 在 a+b+c=0 條件下化簡立方和與三積的關係。

例題

例1：已知 a+b+c、ab+bc+ca、abc 求多個對稱式值

• 考點: 利用 (a+b+c)^2 與 a^3+b^3+c^3−3abc 等公式計算平方和、立方和與高次對稱式。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 給 a+b+c=5、ab+bc+ca=5、abc=1，求 a^2+b^2+c^2、a^3+b^3+c^3、a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2、a^4+b^4+c^4。

例2：由 a^3+b^3+c^3=3abc 證明三角形為正三角形

• 考點: 用 a^3+b^3+c^3−3abc 分解與平方和為 0 推出 a=b=c 的證明題。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 a,b,c 為三角形三邊且滿足 a^3+b^3+c^3=3abc，證明此三角形為正三角形。

例3：利用 a+b+c=0 快速計算立方和差

• 考點: 令三數和為 0 套用 a^3+b^3+c^3=3abc 做數值計算。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 計算 (2^5+3)^3+(8−2^5)^3−11^3 的值。

例4：化簡三個一次式的立方和

• 考點: 將三個一次式視為 a,b,c 並驗證 a+b+c=0 後用 a^3+b^3+c^3=3abc 化簡。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 化簡 (2x+3)^3+(3x−4)^3+(1−5x)^3。

例5：因式分解三個立方的組合式

• 考點: 透過調整成 a+b+c=0 形式，使用 a^3+b^3+c^3=3abc 進行因式分解。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 (3a−2b)^3−(5c−2b)^3−(3a−5c)^3。

例6：比較 1+∛2 與 ∛11 的大小

• 考點: 利用「a^3+b^3+c^3−3abc 與 a+b+c 同號」做根式大小比較。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 比較 1+∛2 和 ∛11 的大小關係。

例7：回家作業1：根式組合求 x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx 與 x^3+y^3+z^3−3xyz

• 考點: 以對稱式公式（含 a^2+b^2+c^2±ab±bc±ca、a^3+b^3+c^3−3abc）計算根式定義下的值。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 x=∛7+∛5−∛2、y=∛7−∛5+∛2、z=−∛7+∛5+∛2，求兩個指定代數式的值。

例8：回家作業2：指數條件證明正三角形

• 考點: 將條件改寫成 a+b+c 與 a^3+b^3+c^3 的關係後，套用立方公式推到 a=b=c。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 a,b,c 為三角形三邊且 8^a+8^b+8^c=3·2^{a+b+c}，證明三角形為正三角形。

例9：回家作業3：a^3+b^3−c^3+3abc 因式分解

• 考點: 以 a^3+b^3+c^3−3abc 的分解式，透過變號/代換整理成可分解形式。
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 a^3+b^3−c^3+3abc。

分型架構

無

教學特色

• 口訣：兩兩之積的和 = 1/2{(和)^2 − (平方和)}；平方和 ≥ 兩兩之積的和。

觀念

觀念1：型四 強迫分解

• 講解方式: 圖解
• 摘要: 用「X」交叉法把二次式（或可視為二次的式子）強迫拆成兩個一次因式。

觀念2：P=ab 為質數的判準

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 若整數乘積 P=ab 是質數，則必有 a=±1 或 b=±1，用於整數解與質數判定。

例題

例1：分組提出公因式的因式分解（含兩小題）

• 考點: 透過展開重排後分組，提出共同因式完成因式分解
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 將(1) ab(1−c^2)−c(a^2−b^2)與(2) 9+3(x^2+x+1)+x^2(x+1)因式分解。

例2：立方差/立方和公式的串接分解

• 考點: 先分組再用 a^3±b^3 公式分解成一次與二次因式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 1−a^3+b^3−a^3b^3。

例3：十字交乘法分解二次式（含三小題）

• 考點: 將一般二次式（或可提出公因式後的二次式）用十字交乘找兩一次因式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解(1) a^2b^2x^2+3ab^2x−4b^2、(2) 5x^3y−25x^2y^2+30xy^3、(3) x^2−2bx−(a^2−b^2)。

例4：把式子改寫成「平方」後再十字分解（含兩小題）

• 考點: 先視為以(x^2+mx)為變數的一元二次式，配湊成可分解型再還原
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解(1) (x^2+2x+4)(x^2+2x−6)+21、(2) (x^2+3x+2)(x^2+7x+12)−3。

例5：拆項與補項（含兩小題）

• 考點: 透過拆成可分組或配成平方差/平方形式以利分解
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解(1) x^4+x^3+2x^2+x+1、(2) x^4+4。

例6：拆項補項結合質數判斷的整數條件題（含兩小題）

• 考點: 先把 n^4−6n^2+25 改寫為平方差分解，再用「質數=兩整數乘積」推出因式為±1
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: (1) 因式分解 n^4−6n^2+25；(2) 已知 n∈Z 且該式為質數，求 n 與此質數。

例7：強迫分解（X交叉法）分解多項式（含三小題）

• 考點: 用交叉配對把一次項係數與常數項配成可分解的兩括號
• 附圖: X 交叉示意圖（左列為 x 或 x^2/y^2，右列為常數；交叉相乘相加對應中間項）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解(1) xy+3x−2y−6、(2) xy+5x+4y+20、(3) x^2y^2−x^2−y^2+1（並續分解成多個一次因式）。

例8：配合整數解：平方差分解求自然數解

• 考點: 令根號式為整數 k，化為平方差 (k+x)(k−x)=常數並用因數分解枚舉
• 附圖: 兩列因數對照表（上列 k+x、下列 k−x，標示「大／小」）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 x∈N 且 √(x^2+71)∈N，求 x。

例9：配合整數解：因式分解枚舉整數解對

• 考點: 分式方程通分後因式分解為( x−a )( y−b )=常數，列舉因數求整數解
• 附圖: 大表格列出(x−5)、(y−4)的因數配對並換算成(x,y)，並標示不合者
• 標記: 無
• 題幹摘要: 設 x,y∈Z 且 5/x + 4/y = 1，求整數對(x,y)。

例10：（能力指標：平方差）直角三角形整數邊長計數

• 考點: 由畢氏定理導出平方差 b^2−a^2=常數，化為(b−a)(b+a)=常數並用因數分解計數
• 附圖: 因數配對表（列出 b−a 與 b+a 的因數組合並推回 a,b）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知直角三角形三邊皆為整數且其中一邊長為20，求符合條件的直角三角形有幾個。

例11：回家作業1：判斷一次因式是否為多項式的因式

• 考點: 將式子分組因式分解，判斷選項中何者為因式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 下列何者為 xy−8+4x−2y 的因式（選擇題）。

例12：回家作業2：立方差型的因式判別

• 考點: a^3/8−b^3 視為( (a/2)^3 − b^3 )套用立方差公式判斷因式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 下列哪一個式子是 a^3/8 − b^3 的因式（選擇題）。

例13：回家作業3：分解四元二次型

• 考點: 將含 xy 的二次式視為平方差結構分解成兩個括號
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 4x^2y^2 + 2xy − x^2 − y^2。

例14：回家作業4：公式乘積判真偽

• 考點: 辨識立方和差、平方差等因式分解公式的正確對應
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 判斷四個等式何者正確（選擇題）。

例15：回家作業5：基本分組提出公因式分解

• 考點: 展開後分組提出公因式完成分解
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 ab(1−c^2)−c(a^2−b^2)。

例16：回家作業6：利用指數型差分解求整除

• 考點: 把 2^24−1 做差幂分解找介於240與250的因數
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 在240與250之間找一個正整數可整除 2^24−1，求此數。

例17：回家作業7：佩爾型方程的平方差分解

• 考點: x^2−4y^2=(x−2y)(x+2y)=1 用整數因數分析求解
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 求 x^2−4y^2=1 的整數解。

例18：回家作業8：代入檢驗一次因式（因式定理概念）

• 考點: 用因式定理/代入根檢驗判斷哪個一次式不是因式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 下列何者不是 x^5−3x^3−4x 的因式（選擇題）。

例19：回家作業9：利用 x^4+64 的因式分解做連乘連除化簡

• 考點: 以 x^4+64 的分解進行大量約分（望遠鏡式化簡）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 計算多個( n^4+64 )連乘除的值（提示：利用 x^4+64 的因式分解）。

例20：回家作業10：分解 a^4+4b^4（索菲亞·熱爾曼恆等式）

• 考點: 以 a^4+4b^4 的標準分解型拆成兩個二次因式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 a^4+4b^4。

例21：回家作業11：把式子視為平方差後分解

• 考點: 將(a^2−1)(b^2−1)−4ab 改寫為兩個括號相乘的形式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 (a^2−1)(b^2−1)−4ab。

例22：回家作業12：三個質數的乘積與和關係

• 考點: 用因式分解/整除性推理處理「積為和的倍數」的質數限制
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 有三個質數，其積為其和的19倍，求此三質數和。

例23：回家作業13：把四個一次因式的乘積加常數再分解

• 考點: 先配對成二次式再以平方差/配方法分解為4個一次因式
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15（要求分成4個一次因式）。

例24：回家作業14：因式分解後解方程（含根號）

• 考點: 將方程整理成可分解型，因式分解後求解（可能出現根號解）
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 解 (x+1)(2x+1)(3x−1)(4x−1)+6x^4=0。

例25：回家作業15：整數條件的根式方程

• 考點: 由 √(x^2−9x−1) 為整數導出判別式/配方與因式分解限制 x
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 已知 x 與 √(x^2−9x−1) 皆為整數，求 x。

例26：回家作業16：以 ab 為核心作代換分解

• 考點: 將含(ab−1)^2、(ab+1)等式子整理後分解成兩括號
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 (ab−1)^2 + (a+b)(ab+1) + 5ab。

例27：回家作業17：以 xy 作代換的分組分解

• 考點: 將(xy+1)(x+1)(y+1)+xy 展開分組，化為兩括號相乘
• 附圖: 無
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 (xy+1)(x+1)(y+1)+xy。

例28：雙十字交乘法因式分解（含 x,y 二元二次式）

• 考點: 用雙十字交乘法將二元二次多項式分解為兩個一次式的乘積
• 附圖: 雙十字交乘法示意（左列 x、x；上列 +3y、-4；右列 -2y、+1 的交叉配對）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 $x^2+xy-6y^2-3x+11y-4$

例29：雙十字交乘法因式分解（首項係數為 3）

• 考點: 以雙十字交乘法處理首項係數不為 1 的二元二次式因式分解
• 附圖: 雙十字交乘法示意（左列 3x、x；上列 +y、+2；右列 -3y、-4 的交叉配對）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 $3x^2-8xy-3y^2-10x-10y-8$

例30：雙十字交乘法因式分解（首項係數為 2）

• 考點: 用雙十字交乘法將含 $x^2,xy,y^2$ 與一次項的多項式分解
• 附圖: 雙十字交乘法示意（左列 2x、x；上列 +3y、-1；右列 -2y、+3 的交叉配對）
• 標記: 無
• 題幹摘要: 因式分解 $2x^2-xy-6y^2+5x+11y-3$

分型架構

• 型一：分組提出公因式——先展開/重排後分組，提出共同因式得到乘積。
• 型二：十字交乘法——針對二次三項式（含可先提出公因式者）用交叉配對找兩一次因式。
• 型三：拆項與補項——透過拆項、補項或配方法把式子改寫成可分解的平方差/乘積。
• 型四：強迫分解——用交叉法（X法）強迫配出一次因式，必要時再續分解。
• 型五：配合整數解——將式子化為乘積等於常數/1，藉因數分解列舉整數解或判斷質數。
• 型六：雙十字交乘法——用交叉配對找出兩個一次因式，使展開後係數匹配原多項式。

教學特色

• 以「型一～型五」分型編排，對應不同因式分解策略。
• 使用「X 交叉」圖解呈現強迫分解/交乘配對流程。
• 多題整數條件題搭配「因數配對表格」列舉解（含標註不合條件）。
• 以「雙十字交乘法」的交叉示意圖輔助配對與驗算係數。

觀念

觀念1：平方根定義

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明若 $x^2=a\ge0$ 則 $x$ 為 $a$ 的平方根，並以 $x=\pm\sqrt a$ 表示，且正數有兩個平方根、0 只有一個平方根。

觀念2：平方根性質

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 介紹 $\sqrt{a^2}=|a|$、$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$ 等與絕對值相關的平方根性質。

觀念3：平方根運算

• 講解方式: 推導
• 摘要: 說明同次根式可乘除（如 $\sqrt3\cdot\sqrt5=\sqrt{15}$），同類根式可加減（如 $2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3$）。

觀念4：立方根定義（數位延伸閱讀）

• 講解方式: 定義式
• 摘要: 說明若 $x^3=a$ 則 $x$ 為 $a$ 的立方根，記作 $x=\sqrt[3]{a}$。